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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Mikke |
Eine Frage hätte ich da noch:
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] a_{n}= (-1)^{n}/n+1 [/mm] und [mm] \nu: \IN \to \IN [/mm] definiert durch
[mm] \nu(3k)=4k, \nu(3k+1)=4k+2, \nu(3k+2)=2k+1 [/mm] mit [mm] k\in \IN
[/mm]
Jetzt soll ich folgedes zeigen:
Die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} a_{\nu(k)} [/mm] ist eine Umordnung der Reihe [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} a_{k} [/mm]
Also ich weiß dass wenn hier eine Umordnung vorliegt die gegebende Abbildung eine Bijektion sein muss aber wo genau soll diese Bijektion vorliegen. was genau ist mein [mm] \nu?
[/mm]
Könnt ihr mir helfen?
Dann soll ich zweitens noch zeigen dass die reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{\nu(k)} [/mm] konvergent ist und ihre Summe gleich 3/2 [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} a_{k} [/mm] ist.
Wie kann ich das hier machen?
vielen dank schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Deine Abbildung [mm] $\nu [/mm] : [mm] \IN \to \IN$ [/mm] ist doch explizit (per Fallunterscheidung) angegeben. Du musst jetzt nur zeigen, dass sie injektiv und surjektiv ist. Das solltest du wenigstens mal selber versuchen und uns deine Versuche hier vorführen.
Dann muss du
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{\nu(k)} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} \sum\limits_{l=1}^3 a_{\nu(3k+l)}$
[/mm]
so lange umformen, bis dort [mm] $\frac{3}{2} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ [/mm] steht. Auch hier würden wir ganz gerne erst mal einen eigenständigen Versuch von dir sehen.
Viele Grüße
Stefan
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