Umnummerierung bei Summenzeich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Fr 24.02.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=m}^{n}a_{i} [/mm] = [mm] \summe_{j=k}^{n + k - m}a_{j+m-k} [/mm] |
hallo zusammen! bin gerad bei der klausurvorbereitung für meine erste ana klausur und bin dabei auf das obige problem gestoßen. ich seh einfach nicht, wie das mit dieser Umnummerierung der Indizes von statten gehen soll!
für eure hilfe bin ich euch jetzt schon mal dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Fr 24.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
man will ja einfach nur den Inex der Summe verschieben - die Summanden sollen ja dieselben bleiben, also mal ein beispiel:
wenn [mm] a_i [/mm] von i=1 bis 100 aufsummiert wird , aber dann von -5 angefangen werden soll, dann muss der Index des ersten Summanden ja (-5+6)=1 sein, damit wirklich derselbe Summand da steht...
d.h. der Index in der Summe ist nun (i+6), denn beim ersten i=-5 passt es dann genau..
Zum schluß muss natürlich der letzte Summand 100 sein , also 100=i+6
=> i=94
d.h. man geht dann von -5 bis 94 mit dem neuen Index [mm] $a_{i+6}$
[/mm]
allgemein:
wenn vorher m der erste Index war und er jetzt k werden soll, dann soll doch
[mm] $a_m=a_{k+x}$ [/mm] also [mm] $m=k+x\quad\Rightarrow [/mm] x=m-k$
dies ist der neue additive Zusatz, den man schonmal weiß, also :
[mm] $\summe_{i=k}^{}a_{i+ m-k}$
[/mm]
und die Frage, wie weit der neue Index zu gehen hat ist auch einfach, denn angenommen vorher war der letzte Index n , dann soll also [mm] $a_n=a_{i'+m-k}$ [/mm] also $n=i'+m-k$ sein für den letzten Index i'
also : $i'=n-m+k$ ist der letzte Index, damit ergibt sich die neue Summe [mm] $\summe_{i=k}^{n-m+k}a_{i+ m-k}$
[/mm]
viele Grüße
DaMenge
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