Umkreisradius im Dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich suche den Lösungsweg einer Aufgabe in der es darum geht, die Länge des Umkreisradius im gleichseitigen Dreieck zu finden.
Ich habe mich schon ein wenig im Internet umgeschaut und herausgefunden, dass die Formel um die Länge des Umkreises zu berechnen
r=[mm]\bruch{\wurzel{3}}{3}[/mm]*a=[mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]*a
leider habe ich den Lösungsweg aber nicht gefunden.
Mein Lehrer hat mir eine Hilfe gegeben, er zeichnete ein gleichseitiges Dreieck, mit der Seite a und der Höhe h, den Eckpunkten A, B und C, danach konstruierte er den Umkreis um das Dreieck und verband den Mittelpunkt des Dreiecks mit dem Eckpunkt B.
Eigentlich ist es egal, mit welchem Eckpunkt man den Mittelpunkt verbindet, da das Dreieck ja gleichseitig ist, die Strecke zwischen Eck- und Mittelpunkt ist der Umkreisradius.
Zu dieser Aufgabe soll ich eine allgemeine Formal aufstellen, sie aber auch beweisen können.
Dies sollte mithilfe des Satz des Pythagoras passieren, da man bei diesem Satz immer ein rechtwinkliges Dreieck benötigt, zeichnete er dies zur Hilfe ein.
Das rechtwinklige Dreieck besitzt als Hypotenuse den Umkreisradius, als erste Kathete die Hälfte der anliegenden Seite a auf die zuvor die Höhe des Dreiecks als Senkrechte eingezeichnet wurde. Als zweite Kathete verband mein Lehrer das Ende der halben Seite, dass nicht direkt an den Umkreisradius anliegt, mit dem Mittelpunkt des Dreiecks, sodass ein rechter Winkel entstand.
Er fragte mich, wie groß r ist, woraufhin ich antwortete, dass r zwei Drittel der Höhe ist, was wohl stimmt, daraufhin sollte ich ihm das in einer Rechnung beweisen was ich aber nicht konnte.
Ich weiß aber, dass der Umkreisradius so lang wie zwei Drittel der Höhe ist, weil ich diese Information im Internet fand.
Da ich nicht genau weiß, wie ich die Länge des Umkreisradius mithilfe des Satz des Pythagoras beweisen soll, bitte ich um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Do 17.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo kleiner Engel
Also eigentlich brauchst du den Pythagoras 2 mal
1. Zeichne eine Höhe = Mittelsenkrechte ein. Aus a, [mm] \bruch{a}{2} [/mm] und h ergibt sich a^(2) = [mm] \bruch{4}{3}*h^{2} [/mm] oder [mm] h^{2}= \bruch{3}{4}*a^{2}. [/mm] Rechne bitte nach.
Dann schneidest du 2 verschiedene Mittelsenkrechte, der Schnittpkt ist der Umkreismittelpunkt.
Zeichne die Höhen ganz durch. Dann hast du das von dir beschriebene Dreieck. eine Seite [mm] \bruch{a}{2}, [/mm] eine Seite r und die dritte Seite (h-r) das ist das, was du wahrscheinlich übersehen hast. Weil das Dreieck gleichseitig ist sind nämlich alle 3 Höhen gleich lang und r sowieso also auch h-r.
Damit rechnest du jetzt den Pythagoras, lösest die Gleichung nach r auf und mußt noch aus dem 1. Pythagoras [mm] s^{2} [/mm] durch [mm] a^{2} [/mm] ersetzen oder umgekehrt! Ich hoff ich hab mich nicht zu kompliziert ausgedrückt! Sonst frag noch mal nach!
Gruss leduart
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Hallo,
danke erstmal für deine Antwort.
Du hast geschrieben, dass h-r=r ist, r ist aber ein Drittel von h, weil sich die Höhen im gleichseitigen Dreieck im Verhältnis 2:1 schneiden, das müsste ich auch irgendwie beweisen, dann hätte ich die Lösung.
Ich verstehe deine erste Umrechnung leider auch nicht so gut, das mit dem a²=... wie kommst du auf diese Rechnung, wenn du vorher das rechtwinklige Dreieck a/2, a, h hast?
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Hallo,
> danke erstmal für deine Antwort.
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> Du hast geschrieben, dass h-r=r ist, r ist aber ein Drittel
> von h, weil sich die Höhen im gleichseitigen Dreieck im
> Verhältnis 2:1 schneiden, das müsste ich auch irgendwie
> beweisen, dann hätte ich die Lösung.
>
> Ich verstehe deine erste Umrechnung leider auch nicht so
> gut, das mit dem a²=... wie kommst du auf diese Rechnung,
> wenn du vorher das rechtwinklige Dreieck a/2, a, h hast?
a= Hypotenuse a/2 und h sind die Katheten
also folgt :
[mm] a^2 = (a/2)^2 +h^2 [/mm]
wenn du alle 3 Höhen einzeichnest ergibt sich unten rechts oder auch unten links
das Dreieck :
r= Hypotenuse und den Katheten a/2 und dem kleineren Abschnitt der Höhe
Damit solltest du klar kommen.
Ein schöner beweis ist auch :
Wenn du alle drei Radien einzeichnest,
erhälst du drei gleich grosse Dreiecke mit der Grundseite a und der Höhe "ha".
Da die Fläche des Dreieckes 1/3 des Ursprungsdreieckes ist, muss auch der Höhenabschnitt ha
1/3 der Höhe h sein , da in beiden Fällen die Grundseite a gleich ist.
Gruss
Eberhard
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Auch dir vielen Dank für deine Antwort,
das Problem ist leider, dass ich die Aufgabe mithilfe des Satzes des Pythagoras beweisen soll.
Da ich die Behauptung hatte, dass r ein Drittel von h ist, muss ich dies also irgendwie beweisen oder ich muss versuchen, durch das Dreieck, mit r, a:2 und ein Drittel h als Seiten, durch den Satz des Pythagoras zu beweisen, wie groß r ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 19.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kannst du meinen ersten Artikel noch mal lesen?, irgendwas mußt du übersehen haben. Das kleine Dreieck hat 3 verschiedene Seiten: Hypothenuse r (Radius des Umkreises) längere Kathede a/2, kürzere Kathede (h-r). Darauf wendest du den Pythagoras an. Dann steht noch h und a in der Gleichung; du ersetzest das eine durch das andere aus dem 1. Pythagoras.
Hab die Zeichnung mit den 2 Höhen im Dreieck vor dir, wenn du das liest, dann verstehst du es sicher!
Gruss leduart
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Nochmals vielen Dank für deine Hilfe.
Leider verstehe ich nicht, wie man den Pythagoras anwenden kann, wenn man nur weiß, wie groß a:2 ist, man weiß ja nicht, wie groß h-r oder r sind, weil man r sucht.
Ich verstehe leider auch nicht so ganz, wieso danach nur noch h und a in der Gleichung übrig bleiben.
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Hallo
die antwort siehe unten
Gruss
Eberhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Messe |
Eigentlich schneiden sich ja die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, nur fallen die eben in einem gleichseitigen Dreieck mit den Höhen zusammen.
Vielleicht hilft dir das weiter.
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Vielen Dank für deine Hilfe,
leider müsste ich das aber auch beweisen, bei meinem Lehrer muss ich alles beweisen und kann nicht einfach etwas behaupten, was eigentlich richtig ist.
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Hallo Engel
oben steht es doch schon
[mm] a^2 = h^2 + (\bruch{a}{2})^2 [/mm]
das löst du auf nach a und kannst es dann in
[mm] r^2 = (\bruch{a}{2})^2 + (h-r)^2 [/mm]
einsetzen.
Durch entsprechendes Umformen erhälst du die Aussage r= 2/3 h
Gruss
Eberhard
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Vielen Dank an dich und an alle anderen für eure tolle Hilfe.
Ich habe es jetzt soweit verstanden, vielleicht denke ich auch manchmal zu umständlich, ich weiß es nicht.
Auf jeden Fall habe ich vorhin mal mit meiner Freundin telefoniert, danach hate ich die Lösung.
Sie ist zwar nicht die Beste in Mathe, aber heute Nacht (ja, mir falen nachts immer die besten Lösungen ein) habe ich mir überlegt, dass man die eine Gleichung umformen könnte, daraus ergab sich dann, nachdem wir diese zusammen umgeformt hatten eine Lösung, ich habe wohl wirklich zu umständlich gedacht.
Und mir fällt auf, dass die Lösung die hier im Forum steht eigentlich nichts anderes ist als die Lösung die wir vorhin gefunden haben, aber trotzdem vielen Dank, weil ich die Aufgabe durch ein ein wenig anders durchdacht habe.
Vielen Dank!
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Hallo Engel
Stell doch mal dein Ergebnis vor.
Bin gespannt deine Überlegungen zu sehen.
Gruss
Eberhard
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Hallo, ich schreibe dir gerne meine Lösung, bin mal gespannt, ob sie stimmt, was eigentlich der Fall sein müsste, schlecht wäre nur, wenn sie trotzdem falsch ist.
[mm] r^2 = (h-r)^2 + ( \bruch{a}{2} )^2
= h^2 - 2hr + r^2 + \bruch{a^2}{4} | -r^2
0 = h^2 - 2hr + \bruch{a^2}{4} | +2hr
2hr = h^2 + \bruch{a^2}{4} | : 2h
r = \bruch{h}{2} + \bruch{a^2}{8h}
= \bruch{\bruch{1}{2}a\wurzel{3}}{2} + \bruch{a^2}{8(\bruch{1}{2}a\wurzel{3})}
r = \bruch{\bruch{1}{2}a\wurzel{3}}{2} + \bruch{a}{4\wurzel{3}}
= \bruch{6a + 2a}{8\wurzel{3}}
= \bruch{8a}{8\wurzel{3}}
= \bruch{a}{\wurzel{3}} [/mm]
Ich hoffe, dass ich bei diesen ganzen Zeichen und vor allem bei der Rechnung keinen Fehler gemacht habe.
Ein Klassenkamerad hat mir heute seine Lösung dieser Aufgabe gezeigt, er hat als Ergebnis [mm] \bruch{\bruch{1}{3}a}{\wurzel{3}} [/mm]
oder sowas ähnliches, ich weiß leider nicht mehr genau, wie er das ausgerechnet hat. aber auf einigen Seiten im Internet fand ich komischerweise genau diese Lösung, deshalb weiß ich jetzt nicht, welche von beiden richtig ist.
Da heute Mathematik bei mir ausgefallen ist, habe ich erst am Donnerstag wieder Mathematik.
Es wäre schön, wenn mir jemand seine Meinung dazu schreiben klnnte, welche der Lösungen richtig ist, damit ich das gegebenenfals noch abbessern kann.
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Hallo Engel
ging es dir nicht hauptsächlich um den Beweis r=2/3 h ??
> Hallo, ich schreibe dir gerne meine Lösung, bin mal
> gespannt, ob sie stimmt, was eigentlich der Fall sein
> müsste, schlecht wäre nur, wenn sie trotzdem falsch ist.
>
>
>[mm]r^2 = (h-r)^2 + ( \bruch{a}{2} )^2[/mm]
>[mm]r^2 = h^2 - 2hr + r^2 + \bruch{a^2}{4}| -r^2 [/mm]
>[mm]0 = h^2 - 2hr + \bruch{a^2}{4} | +2hr [/mm]
>[mm] 2hr = h^2 + \bruch{1}{4} a^2 [/mm]
Bis hierhin alles gut
[mm] h^2= a^2 - \bruch {a^2}{4}[/mm]
[mm] h^2= \bruch{3}{4}a^2 [/mm]
[mm] \bruch{4}{3}h^2= a^2 [/mm]
Das in deine obige gleichung eingesetzt ergibt:
[mm] 2hr = h^2 + \bruch{1}{4}\cdot{} \bruch{4}{3}h^2 [/mm]
[mm] 2hr = h^2 + \bruch{1}{3}h^2 [/mm]
[mm] 2hr =\bruch{4}{3}h^2 [/mm] | :2
[mm] hr =\bruch{2}{3}h^2 [/mm] | :h
[mm] r =\bruch{2}{3}h [/mm]
Das wolltest du doch beweisen
[mm] r =\bruch{2}{3}h [/mm] einsetzen [mm] h =\bruch { \wurzel {3}}{2}\cdot{} a [/mm]
[mm] r =\bruch{2}{3}\cdot{}\bruch { \wurzel {3}}{2}\cdot{} a [/mm]
und wie du siehst war dein Ergebnis richtig ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Gruss
Eberhard
>[mm]r = \bruch{h}{2} + \bruch{a^2}{8h}[/mm]
>[mm] = \bruch{\bruch{1}{2}a\wurzel{3}}{2} + \bruch{a^2}{8(\bruch{1}{2}a\wurzel{3})}
[/mm]
>[mm] r = \bruch{\bruch{1}{2}a\wurzel{3}}{2} + \bruch{a}{4\wurzel{3}}
[/mm]
>[mm] = \bruch{6a + 2a}{8\wurzel{3}}
[/mm]
>[mm] = \bruch{8a}{8\wurzel{3}}
[/mm]
>[mm] = \bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm]
>
>
>
>
> Ich hoffe, dass ich bei diesen ganzen Zeichen und vor allem
> bei der Rechnung keinen Fehler gemacht habe.
>
> Ein Klassenkamerad hat mir heute seine Lösung dieser
> Aufgabe gezeigt, er hat als Ergebnis
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3}a}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> oder sowas ähnliches, ich weiß leider nicht mehr genau, wie
> er das ausgerechnet hat. aber auf einigen Seiten im
> Internet fand ich komischerweise genau diese Lösung,
> deshalb weiß ich jetzt nicht, welche von beiden richtig
> ist.
>
> Da heute Mathematik bei mir ausgefallen ist, habe ich erst
> am Donnerstag wieder Mathematik.
> Es wäre schön, wenn mir jemand seine Meinung dazu
> schreiben klnnte, welche der Lösungen richtig ist, damit
> ich das gegebenenfals noch abbessern kann.
>
>
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hallo engel
ich hab nicht verlesen
so ganz richtig war weder deins noch das deines klassenkameraden
sorry
Gruss
Eberhard
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Vielen, vielen Dank,
du hast Recht, eigentlich wollte ich persönlich beweisen, dass [mm] r=\bruch{2}{3}*h [/mm]
mein Mathelehrer meinte zwar, dass wir die Aufgabe mithilfe des Satzes d. P. beweisen sollen, aber im Grunde haben wir das ja trotzdem getan.
Irgendwie war ich mir sicher, dass meine Behauptung stimmt, weil er meinte, ob ich ihm das beweisen könnte, sonst hätte er gleich nein gesagt, aber bei ihm braucht ja jeder einen Beweis, jetzt habe ich sogar meine Behauptung bewiesen, das freut mich wirklich.
Mir ist jetzt auch wieder eingefallen, welche Lösung mein Klassenkamerad hatte, sie ist leider doch ein wenig anders, als ich zuvor hier geschrieben hatte. [mm] r= \bruch{1}{3}*a*\wurzel{3} [/mm] ich weiß zwar nicht, ob das richtig ist, aber irgendwie müsste das auch richtig sein, oder?
Schön, dass diese Aufgabe nun ganz gelöst ist, nochmals vielen Dank. :)
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