Umkehrungen von Injektivität/S < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Sa 05.11.2005 | | Autor: | WiMa007 |
Wir haben verschiedene Aussagen:
a) sind f und g surjektiv, so ist auch f [mm] \circ [/mm] g surjektiv
b) sind f und g injektiv, so ist auch f [mm] \circ [/mm] g injektiv
c) sind f und g bijektiv, so ist auch f [mm] \circ [/mm] g bijektiv
Diese Aussagen konnte ich beweisen. Nun sollen wir beweisen, dass die Umkehrung der Aussagen falsch ist.
Alles was ich bisher hingekriegt hab, ist herauszufinden, dass wenn g [mm] \circ [/mm] f injektiv ist, f injektiv ist.
Das hab ich so gemacht:
g [mm] \circ [/mm] f(x1) [mm] \not= [/mm] g [mm] \circ [/mm] f(x2)
g(f(xa)) [mm] \not= [/mm] g(f(x2))
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x1) [mm] \not= [/mm] f(x2)
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte die Umkehrung der Aussage a) herauszufinden (mit den anderen beiden Umkehrungen der Aussagen hab ich mich ehrlich gesagt noch gar nicht beschäftigt, vielleicht werd ich später zu denen noch ne Frage stellen).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Sa 05.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Alles was ich bisher hingekriegt hab, ist herauszufinden,
> dass wenn g [mm]\circ[/mm] f injektiv ist, f injektiv ist.
Aber das ist nicht die Aufgabenstellung - wenn du das machst, machst du viel zu viel. Die Aufgabe besteht also quasi darin, bei a) f und g zu gfinden, so dass die Komposition injektibv ist, aber g oder f nicht. Da du ja für f schon injektiv folgerst, liegt das Augenmerk auf g. Beispiele kann man schon für Abbildungen zwsichen ganz kleinen Mengen finden - also, wo nur 1,2, 3 .. Elementen.
SEcki
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