Umkehrfunktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Vieta |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich habe mal ne Frage... Wie kann man einer Funktion ansehen, ob sie bijektiv ist oder nicht? Dies ist ja die Voraussetzung, damit die Umkehrfunktion existiert...
Bsp.: f: R --> R ; f(x)= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Wie sieht man hier, ob diese Funktion bijektiv ist oder nicht?
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Woltan |
Hallo Vieta.
eine Funktion ist bijektiv wenn sie injektiv und surjektiv ist.
So aber was ist jetzt injektiv und surjektiv?
Eine injektive Funktion kannst du daran erkennen, dass alle y-Werte nur einem x-Wert zugeordnet werden können. D.h. nimm zum Beispiel die Funktion $y = [mm] x^3$. [/mm] Da existiert für jedes y nur ein x-Wert. Bei der Funktion $y = [mm] x^2$ [/mm] ist dies nicht der Fall, denn bei $y = 4$ zum Beispiel kann x = 2 oder x = -2 rauskommen.
Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes mögliche y einen x-Wert erhält. Z.b. die Funktion $y = [mm] x^3$ [/mm] sie kommt von $- [mm] \infty$ [/mm] und geht nach $+ [mm] \infty$. [/mm] D.h. jedes y erhält ein x. Die Funktion $y = [mm] x^2$ [/mm] jedoch hat z.b. bei y = -1 keinen zugehörigen x Wert, weil die Funktion diesen Wert nicht annehmen kann.
Wenn du also rausfinden willst, ob eine Funktion bijektiv also umkehrbar ist, so mal dir die Funktion einmal auf und überprüfe die injektivität und die surjektivität.
Ich hoffe, dass dir das weiter geholfen hat, wenn du möchtest kann ich dir noch ein paar formeln geben, die dir injectivität und surjectivität beweisen. Ansonsten cherio
Woltan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Vieta |
Vorerst mal danke!! = ) Ich würde die Formeln gern mal anschauen...Also kann man grob sagen, jede Funktion ersten Grades ist bijektiv, jede funktion 2.Grades kann bijektiv sein(muss durch Definitionsmenge und Bildmenge so definiert werden)und Funktionen dritten Grades sind wiederum bijektiv..? Ist dies korrekt?
greez vieta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Vieta,
> Vorerst mal danke!! = ) Ich würde die Formeln gern mal
> anschauen...Also kann man grob sagen, jede Funktion ersten
> Grades ist bijektiv,
[mm] f(x)=ax+b [/mm] ist bijektiv, wenn [mm] a \ne = 0 [/mm]
>jede funktion 2.Grades kann bijektiv
> sein(muss durch Definitionsmenge und Bildmenge so definiert
> werden)
Wenn du z.B. die Funktion [mm] f(x)=x^2-1 [/mm] als Abbildung der Menge
[mm] D = \left\{x|x \ge 0 \right\} [/mm] auf die Menge [mm] W = \left\{y|y \ge -1 \right\} [/mm]
definierst, dann ja.
> und Funktionen dritten Grades sind wiederum
> bijektiv..?
nein, nicht generell. Die Funktion [mm] f(x) = x^3 [/mm] ist bijektiv, aber z. B. nicht die Funktion [mm] f(x) = x^3 - 4x [/mm],
denn es gilt z.B. f(0) = f(2). Das reicht, um zu zeigen, dass die Funktion nicht injektiv (und damit nicht bijektiv ist.
Du kannst nur sagen, dass jede Funktion 3. Grades mit [mm] D = W = \IR [/mm] surjektiv ist.
Wenn du den Graphen zeichnest, siehst du es
Ist dies korrekt?
>
> greez vieta
>
Gruß Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 25.11.2004 | | Autor: | Vieta |
Hallo! Das mit den Funktionen ersten und zweiten Grades habe ich begriffen. Dies mit den Funktionen dritten Grades ist mir aber nicht ganz klar...
> > und Funktionen dritten Grades sind wiederum
> > bijektiv..?
>
> nein, nicht generell. Die Funktion [mm]f(x) = x^3[/mm] ist bijektiv,
> aber z. B. nicht die Funktion [mm]f(x) = x^3 - 4x [/mm],
> denn es
> gilt z.B. f(0) = f(2). Das reicht, um zu zeigen, dass die
> Funktion nicht injektiv (und damit nicht bijektiv ist.
> Du kannst nur sagen, dass jede Funktion 3. Grades mit [mm]D = W = \IR[/mm]
> surjektiv ist.
> Wenn du den Graphen zeichnest, siehst du es
> Ist dies korrekt?
Wie kommt man auf die Gleichung f(0)=f(2); und warum ist
[mm]f(x)= x^{3}-4x[/mm] nicht bijektiv? Ich demke mal es kommt auf das -4x an...
Gruss Vieta
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Es ist doch so: ne Funktion ist dann bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist.
Wie erkennt man Sujektivität? Wenn ich ne Funktion f:[mm]A \to B[/mm] gegeben habe, dann muss ich rausfinden, ob wirklich alle Elemente aus B "getroffen" werden. Warum? Bei der Umkehrfunktion gilt:
(Def.bereich von f) = (Wertebereich von [mm]f^{-1}[/mm])
und
(Wertebereich von f) = (Def.bereich von [mm]f^{-1}[/mm])
D.h. meine Menge B aus der obigen Funktion wäre nicht nur der Wertebereich von f, sonder auch der Def.bereich von [mm]f^{-1}[/mm].
Klar, warum Surjektivität gelten muss?
Wie erkennt man Injektivität? Bildliche Interpretation: schau dir das Schaubild an. Wenn jeder y-Wert nur einmal "getroffen" wird, dann liegt Injektivität vor. Oder anders: zu verschiedenen x-Werten darf es nicht denselben y-Wert geben.
Wie kommt man auf f(0)=f(2)? Das wurde hier einfach so hingebastelt. Bei dieser Funktion gilt einfach, dass die für verschiedene x-Werte denselben y-Wert annehmen kann. Und das ist z.B. für f(0)=0 und f(2)=0 der Fall.
Schau dir mal den Graphen der Funktion an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie du siehst, werden zu versch. x-Werten gleiche y-Werte angenommen.
Wenn du waagrechte Linien einzeichnest, dann gibt es welche, die den Graphen mehr als einmal schneiden.
Du hast schon recht, "irgendwie" liegt es schon an diesem -4x, dass die Injektivität verletzt ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Do 25.11.2004 | | Autor: | Vieta |
Danke vielmals für diese Ausführliche Erklärung!!
Noch nen schönen abend.. = )
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