Umkehrfunktion des sinh < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Zeigen Sie: sinh : R -> R ist surjektiv
(ii) Bestimmen Sie eine explizite Darstellung der Umkehrfunktion arsinh [mm] :=sinh^{-1} [/mm] : R -> R |
Zu (i):
Ich weiß nicht wie genau ich da vorgehen muss.
Ich weiß, dass ich zeigen sollte, dass gilt:
sinh ist surjektiv, wenn es für alle y [mm] \in \IR [/mm] ein x [mm] \in \IR [/mm] gibt, mit sinh x = y.
Allerdings habe ich keine Ahnung wie. :(
Zu (ii):
Also gegeben war das sinh [mm] x:=\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})
[/mm]
Da ich damit nix anfangen konnte habe ich versucht, dass irgendwie umzuformen, was mich auf folgenden Ausdruck gebracht hat.
[mm] y=\bruch{e^{2x}-1}{2e^x}
[/mm]
jetzt habe ich [mm] e^x [/mm] durch k ersetzt und komme so auf eine quadratische Gleichung, jedoch scheitert es jetzt bei mir irgendwo beim Umstellen von
[mm] y=\bruch{k^{2}-1}{2k}
[/mm]
Wäre nett, wenn sich jemand erbarmen würde mir zu helfen. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mo 21.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Beide Aufgabenteile kannst Du in einem Aufwasch erledigen:
Für y [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] $sinhx:=\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})=y [/mm] $
[mm] \gdw [/mm]
(*) [mm]z-1/z=2y[/mm] (wobei [mm] $z=e^x)
[/mm]
(*) führt auf eine qudratische Gleichung für z
FRED
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Danke erst einmal für die Antwort:
Aufgabe (i) habe ich gerade anders versucht zu lösen, weiß aber nicht ob es so stimmt.
Ich habe mir gedacht eine Funktion müsste ja surjektiv sein, wenn der Grenzwert für x gegen unendlich und -unendlich ebenfalls unendlich und -unendlich (bzw. umgekehrt) ist.
würde das so auch gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mo 21.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke erst einmal für die Antwort:
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> Aufgabe (i) habe ich gerade anders versucht zu lösen,
> weiß aber nicht ob es so stimmt.
> Ich habe mir gedacht eine Funktion müsste ja surjektiv
> sein, wenn der Grenzwert für x gegen unendlich und
> -unendlich ebenfalls unendlich und -unendlich (bzw.
> umgekehrt) ist.
>
> würde das so auch gehen?
Ja, und welchen Satz über stetige Funktionen mußt Du dabei benutzen ?
FRED
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...Das ist mir zwar irgendwie etwas peinlich, aber ich habe keine Ahnung.
Ich dachte nur, jeder Funktionswert muss einmal angenommen werden, also geht es ja nicht anders. Aber ich würde mal tippen, den Zwischenwertsatz, obgleich ich erstmal nachsehen müsste, wie genau der aussieht.^^'
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Mo 21.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> ...Das ist mir zwar irgendwie etwas peinlich, aber ich habe
> keine Ahnung.
> Ich dachte nur, jeder Funktionswert muss einmal angenommen
> werden, also geht es ja nicht anders. Aber ich würde mal
> tippen, den Zwischenwertsatz,
Bingo !
> obgleich ich erstmal
> nachsehen müsste, wie genau der aussieht.^^'
Dann mach das schnellstens !
FRED
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edit: ich habe ganz vergessen, etwas zu der 2. Aufgabe zu fragen:
Wie kommt man denn auf
[mm] \bruch{z-1}{z}=2y, [/mm] ich bin der Meinung, dass das [mm] z^2-1 [/mm] heißen muss. Ist das ein Schreibfehler, oder stehe ich nun gänzlich auf dem Schlauch...?
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Hallo puschel89,
> edit: ich habe ganz vergessen, etwas zu der 2. Aufgabe zu
> fragen:
> Wie kommt man denn auf
>
> [mm]\bruch{z-1}{z}=2y,[/mm]
gar nicht
> ich bin der Meinung, dass das [mm]z^2-1[/mm]
> heißen muss. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ist das ein Schreibfehler, oder stehe ich nun
> gänzlich auf dem Schlauch...?
Ein Lesefehler deinerseits, oben steht $z-1/z=2y$
Also [mm] $z-\frac{1}{z}=2y$, [/mm] was nach Erweiterung mit $z$ genau zu [mm] $\frac{z^2-1}{z}=2y$ [/mm] führt ...
Es gilt Punkt-vor Strichrechnung, du hast eine nicht vorhandene Klammer in Freds Term hineininterpretiert 
LG
schachuzipus
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