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Ich habe folgende Aufgabe : Geben sie f ( x ) an, wenn gilt :
f ( x + [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] x^2 +\bruch{1}{x^2} [/mm] , für x ungleich null
Ich habe mir gedacht ich setze einfach in f ( x ) die Umkehrfunktion ein, also x - [mm] \bruch{1}{x} [/mm] , oder?
Aber dann bekomme ich ganz blöde Probleme beim Auflösen. Ich stehe da gerade völliga uf dem Schlauch .
Bei mir würde dann stehen : f ( x - [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ) = ( x - [mm] \bruch{1}{x})^2 [/mm] + ..... ? Hier weiß ich schon nicht weiter :( Bitte helft mir!
Wie sieht das ganze denn dann aufgelöst aus? Oder bin ich da schon falsch? und noch eine Frage : WAs ist die Umkehrfunktion von : [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
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Hallo,
> Ich habe folgende Aufgabe : Geben sie f ( x ) an, wenn gilt
> :
>
> f ( x + [mm]\bruch{1}{x})[/mm] = [mm]x^2 +\bruch{1}{x^2}[/mm] , für x
> ungleich null
so wie das aussieht, ist das das quadrierte Argument minus einem konstanten Anteil.
[mm]f\left( {x\; + \;\frac{1}
{x}} \right)\; = \;x^{2} \; + \;\frac{1}
{{x^{2} }}\; = \;\left( {x\; + \;\frac{1}
{x}} \right)^{2} \; - 2[/mm]
Gruß
MathePower
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Was ist das denn bitte? Oder kann mit jemand erläutern wie ich darauf komme???
DANKE :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo rotespinne!
Dein Fehler war zunächst, dass
$h(x) = x - [mm] \frac{1}{x}$
[/mm]
nicht die Umkehrfunktion von $g(x) = x + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] ist.
Weiterhin, um deine letzte Frage zu beantworten:
Die Umkehrfunktion von [mm] $g(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] ist $h(x) = [mm] \frac{1}{x}$, [/mm] denn
[mm] $\frac{1}{\frac{1}{x}} [/mm] = x$.
So, jetzt aber zu dem Problem selbst, das Michael sehr gut gelöst hat. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mit der Umkehrfunktion kommt man hier nicht weiter, da $x + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] keine Umkehrfunktion hat.
Man muss hier klüger vorgehen, so wie Michael.
Wir haben ja:
[mm] $f\left( x + \frac{1}{x} \right) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2}$.
[/mm]
Jetzt versuchen wir mal auf die rechte Seite "künstlich" als Funktion von $x + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] zu schreiben (um dann abschließend $x + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] durch $x$ zu ersetzen!).
Wir schreiben :
[mm] $x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] = [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 [/mm] - [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2}$.
[/mm]
Wie sind nun die Punkte zu ersetzen? Wir müssen alles abziehen, was wir "unerlaubterweise" vorher dazuaddiert haben!
Gemäß der binomischen Formel gilt:
[mm] $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2 + [mm] \frac{1}{x^2}$.
[/mm]
Also müssen wir $2 + [mm] \frac{1}{x^2}$ [/mm] abziehen, denn das ist ja gegenbüber [mm] $x^2$ [/mm] dazugekommen.
Somit erhalten wir:
$f [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] = [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 [/mm] - [mm] \left(2 + \frac{1}{x^2} \right) [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] = [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 [/mm] - 2$.
Wir haben also, wie Michael geschrieben hat:
$f [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right) [/mm] = [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 [/mm] - 2$.
Nun können wir $x + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] durch $x$ ersetzen und erhalten:
$f(x) = [mm] x^2-2$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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Ach so :) Das klingt logisch :) DANKE !!!!
Dennoch wüsste ich noch gerne ob es eine einfach Formel gibt mit der ich ganz sicher immer die richtige Umkehrfuntion bekomme?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
> Dennoch wüsste ich noch gerne ob es eine einfach Formel
> gibt mit der ich ganz sicher immer die richtige
> Umkehrfunktion bekomme?
Das kann man ganz klar verneinen: diese "einfache Formel" gibt es nicht !!
Du kannst halt immer nur versuchen, die beiden Variablen zu vertauschen unddann wieder nach x umzustellen.
Aber so etwas scheitert ja schon an ziemlich simplen Funktionen, daß man eine eindeutige Umkehrfunktion bestimmen kann: $y \ = \ [mm] x^2$
[/mm]
Hier muß man ja schon eine Fallunterscheidung bzw. Einschränkung machen, daß man z.B. nur nicht-negative x-Werte betrachtet ($x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$).
Gruß
Loddar
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