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Hallo,
ich habe eine Frage zur Umkehrfunktion und zwar steht in meinem Skript folgendes:
[mm] \pmat{ cos(x) & -r*sin(x) \\ sin(x) & r*cos(x) }^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -\bruch{1}{r}sin(x) & \bruch{1}{r}cos(x) }
[/mm]
Aber wieso gilt das? Bzw. wie berechne ich die Umkehrfunktion von einer Funktion die von [mm] \IR^{2}\to\IR^{2} [/mm] geht?
Jana
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Du weißt sicherlich noch aus der Linearen Algebra, wie man eine die Inverse einer Matrix findet.
Entweder man löst das Gleichungssystem A*A{-1}=E, wobei E die Einheitsmatrix ist, oder man benutzt bestimmte Formeln.
Im Prinzip entspringt hier die Lösung direkt aus der Linearen Algebra. Du kannst ja mal nachrechnen, ob wirklich durch Multiplikation die EInheitsmatrix herauskommt - ich sage dir, sie wird es ;)
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Okay, ich hatte aber keine lineare Algebra und kenne Inverse Matrizen nur entfernt aus der Schule mit natürlichen Zahlen. Nun kann ich das aber eher nicht so gut mit Kosinus und Sinus:
[mm] \pmat{ cos(x) & -r*sin(x) & | 1 & 0 \\ sin(x) & r*cos(x) & | 0 & 1 } [/mm] ... also das ist ja der Ansatz, aber wie formt man dann weiter um so das man mit sin und cos wieder auf 1 bzw. 0 kommt?
Die einzige Formel die ich kenne die mir weiterhelfen könnte wäre:
[mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1
[/mm]
Aber das hat auch nicht geklappt.
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Hallo Jana,
natürlich kann man hier mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus arbeiten. Bei dieser Aufgabe ist es aber nahzu praktischer die Lösung geradezu abzulesen.
Wir suchen ja eine Matrix [mm] A^{-1} [/mm] derart, dass [mm] A*A^{-1}=E [/mm] ist.
Also
[mm] \pmat{\cos(x)&-r\sin(x)\\\sin(x) & r\cos(x)}*\pmat{a&b\\c&d}=\pmat{1&0\\0&1}
[/mm]
Ausgeschrieben ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:
[mm] \vmat{ a\cos(x)-cr\sin(x) &=1 \\ b\cos(x)-dr\sin(x) &=0 \\ a\sin(x)+cr\cos(x) &=0 \\ b\sin(x)+dr\cos(x) &=1 \\ }
[/mm]
Der Ansatz mit dem trigonom. Satz des Pythagoras war schon sehr gut. Denn hier kann man leicht erkennen, dass wohl [mm] a=\cos(x) [/mm] zu sien hat, und [mm] c=-\frac{1}{r}\sin(x)
[/mm]
Entsprechend für b und d.
Rechnen muss man hier eigentlich gar nicht. Es ist alles sehr offensichtlich.
Für 2x2-Matrizen gibt es aber auch eine relativ leicht zu merkende Formel für die Inverse:
[mm] A^{-1}=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \\\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \\\end{pmatrix}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} & -b \\ -c & a \\\end{pmatrix}
[/mm]
(nachzulesen bei Wikipedia unter dem Artikel "Reguläre Matrix"
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