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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Di 19.02.2013 | | Autor: | Joan2 |
Hallo,
weiß jemand warum ln und e, sowie tan und arctan sich auf heben?
Es sind jeweils die Umkehrfunktionen, aber so richtig vorstellen kann ich es mir irgendwie nicht warum zum Beispiel aus [mm] $ln(e^x) [/mm] = x$ oder $arctan(tan [mm] \alpha) [/mm] = [mm] \alpha$ [/mm] wird.
Liebe Grüße
Joan
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Leider ist das mit dem Erklären und Vorstellen immer so eine Sache, da vieles in der Mathematik zunächst einmal Definiert wird und dann aus bestimmten Gesetzmäßigkeiten einfach "logisch" folgt. So darf durch 0 nicht dividiert werden, sehr wohl ist aber [mm] $x^0=1$ [/mm] sowie "0!=1", weil dies bei bestimmten Rechnungen nur so als richtig angenommen werden kann. Trotzdem wirst du es schwer haben, $0!$ als 1 logisch abzuleiten.
Dennoch der Versuch für die Umkehrfunktionen. Ich erkläre es dir an deinem Beispiel [mm] $ln(e^x)=x$ [/mm] sowie an einem anderen: [mm] $\sqrt{x^2}=x$. [/mm] Arctan lasse ich weg, da du nicht wissen wirst, wie der aussieht.
Was soll eine Umkehrfunktion bewirken? Das ist das wichtigste, was man verstanden haben muss. Nehmen wir das Beispiel mit der Potenz, also [mm] $e^x$ [/mm] oder anschaulicher [mm] $2^x$. [/mm] Diese Potenz sagt ja, man nehme die Zahl 2 x mal miteinander mal, also [mm] $\underbrace{2*2*2*\ldots{}}_{=x-mal}$. [/mm] Nun wäre es ja schön, in einem allgemeinen Ausruck dieses x bestimmen zu können. Bei [mm] $x^2$ [/mm] kannst du dir eventuell selbst überlegen, welche Zahl im Quadrat das Ergebnis liefert, so wirst du im Kopf wissen, dass [mm] $x^2=4$ [/mm] als Lösung eine (jetzt mal nur positive) 2 liefert. Aber woher sollst du das bei $4689266907$ wissen, wenn es überhaupt geht? Daher muss eine mathematische Operation geben, die den Vorgang umkehrt. Das ist die Umkehrfunktion.
Diese hat also die Aufgabe, die eigentliche Rechenoperation ("Nimm die Zahl 2 x mit sich selbst mal") rückgängig zu machen und die gesuchte Größte x zu liefern. Jetzt weißt du selbst, dass man aus einer Zweierpotenz die gesuchte Größe durch Wurzelziehen erhält, also gerade gilt: [mm] $\sqrt{x^2}=x$. [/mm] Das ist aber offenbar genau das, was wir gefordert haben: Die Umkehrfunktion (hier die Wurzel) muss die Größe zurückliefern, die vorher mit sich selbst malgenommen [mm] ($x^2$) [/mm] das Ergebnis geliefert hat. In Zahlen eben gerade [mm] $2^2=4 \Rightarrow [/mm] x=2$.
Nun hatte ich oben aber etwas inkonsequent mit dem Beispiel [mm] $2^x$ [/mm] angefangen. Die Wurzel haben wir jetzt verstanden, dann schauen wir uns nochmal [mm] $2^x$ [/mm] an. Hier ist es sicherlich etwas schwieriger. Um aus 8 z.B. herauslesen zu können, dass $x=3$ ist, muss man ja wissen, dass [mm] $2^3=8$ [/mm] ist. Daher gibt es die Umkehrfunktion (z.B. mit dem ln), die uns genau das liefert.
Schauen wir uns jetzt [mm] $ln(e^x)$ [/mm] an, so muss nach den bisherigen Überlegungen die Potenz [mm] ($e^x$) [/mm] rückgängig gemacht werden. Genau das tut aber der Logarithmus per Definition. Denn er ist ja so definiert: Für welche Zahl x gilt, dass die Basis hoch x das Ergebnis y liefert. In unserem Beispiel ist die Basis des natürlichen Logarithmus e, also heißt die Frage: "Für welches x gilt, dass e hoch x das Ergebnis [mm] $e^x$ [/mm] liefert." Offenbar ist dies gerade für x erfüllt. Bei [mm] $e^2$ [/mm] wäre doe Lösung natürlich 2, weil e hoch 2 gerade [mm] $e^2$ [/mm] ist.
Soviel zu der Erklärung. Jetzt noch eine graphische Herleitung:
Wir wollen, dass die Funktionen insgesamt immer das Argument x zurückgeben. Also Umkehrfunktion der Ausgangsfunktion soll gerade das Argument x liefern. Wenn dem aber so ist, dann wäre dies graphisch interpretiert ja gerade die erste Winkelhalbierende ($y=x$ ist eine Gerade durch den Ursprung!). Also heißt das doch: Beide Funktionen getrennt eingezeichnet müssen irgendwie die Winkelhalbierende x ergeben. Und genau so ist es. Du hast vielleicht gelernt, dass man die Umkehrfunktion immer graphisch gewinnen kann, indem man sie an der Winkelhalbierenden spiegelt. Das hat den genannten Grund, dass beide Funktionen miteinander verbunden dann auf die Winkelhalbierende zusammenfallen. Nimm dir also die e-Funktion und den Logarithmus ln getrennt und zeichne beide in ein Koord.-Sys. Du wirst sehen, dass sie genau identisch verlaufen, eben nur an der Winkelhalbierenden gespiegelt (oder mit anderen Worten: x und y-Achse wurden jeweils vertauscht). Mache dasselbe einmal für das obige Beispiel mit [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] und [mm] $x^2$. [/mm] Auch hier sieht du die gleiche Analogie: Beide Funktionen beschreiben den gleichen Verlauf. Die eine läuft aber entlang der x-Achse, die andere entlang der y-Achse, wenn ich es einmal so ausdrücken darf.
Hoffe, das hilft dir.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 19.02.2013 | | Autor: | Joan2 |
Danke für die super ausführliche Erklärung.
Eine Frage habe ich nur.
Bei der graphischen Anschauung, hast du geschrieben, "...dass beide Funktionen miteinander verbunden dann auf die Winkelhalbierende zusammenfallen."
Meinst du, beide Funktionen zusammen addiert, ergeben die Winkelhalbierende?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Di 19.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Joan!
Nein, das stimmt so nicht. Aber wenn man den Graph einer Funktion an der Winkelhalbierenden spiegelt, erhält man den Graph der Umkehrfunktion.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Di 19.02.2013 | | Autor: | Joan2 |
ok, jetzt hab ichs verstanden.
Danke euch beiden :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Di 19.02.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Danke für die super ausführliche Erklärung.
>
> Eine Frage habe ich nur.
>
> Bei der graphischen Anschauung, hast du geschrieben,
> "...dass beide Funktionen miteinander verbunden dann auf
> die Winkelhalbierende zusammenfallen."
>
> Meinst du, beide Funktionen zusammen addiert, ergeben die
> Winkelhalbierende?
>
nein, was er meint ist:
Sei $f(x)$ eine Funktion und [mm] $f^{-1}(x)$ [/mm] die zugehörige Umkehrfunktion, dann gilt stets: [mm] $f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x$
[/mm]
In Worten: Eine Funktion angewendet auf ihre Umkehrfunktion ergibt immer das Argument der Funktion.
bzw. Die Umkehrfunktion angewendet auf ihre zugehörige Funktion ergibt immer das Argument der Funktion.
Gruß,
notinX
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