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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Chuckomo |
| Aufgabe | | Begründe, dass g eine Umkehrfunktion g^-1 besitz, und gib den Funktionsterm g^-1(x) an. Was folgt aus dem Ergebnis für die Symmetrie des Graphn Gg ? g(x)= x/(x-1) |
Hallo,
Ich bräuchte eure Hilfe:
1. Wann ist eine Funktion Umkehrbar?
2. Wie mache ich das bei diese Funktion?
Ich weiß ich muss nach x auflösen.. aber das bereitet mir gewisse Schwierigkeiten. :
y= x/(x-1) = x*(x-1)^(-1)
y^(-1) = x*(x-1) ... aber wie mache ich jetzt weiter?
Mfg Chuckomo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Bevor du weiter rechnest, rate ich dringend dazu, den Graphen zu plotten, z.B. mit funkyplot oder Wolfram Alpha und du wirst viele Aha-Erlebnisse haben ;) Mathematik vollzieht man am besten anhand eines Bildes, und das sagt hier mehr als 1000 Worte. Wenn es dir aber nur um das rechnen geht, auch gut ;)
> Begründe, dass g eine Umkehrfunktion g^-1 besitz, und gib
> den Funktionsterm g^-1(x) an. Was folgt aus dem Ergebnis
> für die Symmetrie des Graphn Gg ? g(x)= x/(x-1)
> Hallo,
> Ich bräuchte eure Hilfe:
> 1. Wann ist eine Funktion Umkehrbar?
Überlege dir dies an den Beispielen $f(x)=x$ und [mm] $f(x)=x^2$. [/mm] Mathematisch kann man dies zeigen, indem man zeigt, dass [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] nur für [mm] $x_1=x_2$. [/mm] Also bildhaft gesprochen: Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie eindeutig ist. Zu einem y-Wert darf es nur einen einzigen x-Wert geben (eine Fkt ist es ja eh nur, wenn zu jedem x ein y existiert). Du musst also zeigen, dass der Graph sozusagen jeden y-Wert nur einmal annimmt. Mathematisch zeigt man dies, indem man die obige Gleichung so auflöst, dass man sieht, dass zwei verschiedene y-Werte [mm] f(x_1) [/mm] und [mm] f(x_2) [/mm] nur gleich sind, wenn auch die x-Werte gleich sind, dann ist sie nämlich injektiv, was soviel heißt wie sie nimmt jeden y-Wert nur einmal an, löse also:
[mm] $\bruch{x_1}{x_1-1}=\bruch{x_2}{x_2-1}$ [/mm] so auf, dass du am Ende [mm] $x_1=x_2$ [/mm] dastehen hast und du hast es ganz korrekt gezeigt. Sollst du nur begründen, schau dir den Graphen an.
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> 2. Wie mache ich das bei diese Funktion?
> Ich weiß ich muss nach x auflösen.. aber das bereitet
> mir gewisse Schwierigkeiten. :
>
> y= x/(x-1) = x*(x-1)^(-1)
>
> y^(-1) = x*(x-1) ... aber wie mache ich jetzt weiter?
Fange so an:
$y(x-1)=x$
Jetzt stelle nach x um, multipliziere entsprechend aus und bringe dann alle y auf die andere Seite. Dann siehst du etwas sehr Überraschendes ;)
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> Mfg Chuckomo
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Chuckomo |
Hey danke für die schnelle Antwort,
nur glaub ich bin ich heute zu dumm für alles...
wenn ich y*(x-1)=x ausmultipliziere komm ich ja auf
xy-y=x ich brauch ja auf einer Seite nur x und auf der anderen nur y ... aber wie krieg ich das xy auseinander?
Mfg
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Interessant .. irgendwie ist deine Frage 2 mal im System..
aber egal...
> Hey danke für die schnelle Antwort,
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> nur glaub ich bin ich heute zu dumm für alles...
>
> wenn ich y*(x-1)=x ausmultipliziere komm ich ja auf
>
> xy-y=x ich brauch ja auf einer Seite nur x und auf der
> anderen nur y ... aber wie krieg ich das xy auseinander?
>
xy-y=x | x auf die rechte seite, y auf die linke
--> yx-x=y | jetzt heben wir auf der linken seite das x herraus
--> x(y-1)=y
> Mfg
LG
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