Umkehrfunktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:52 Sa 20.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ f(x) = y = [mm] x^n [/mm] $ |
Hallo,
es geht eigentlich weniger um die oben genannte Funktion, sondern vielmehr um die Umkehrfunktion ganz allgmein.
ich bin mir nicht so ganz sicher, ob ich das richtig verstanden habe.
Lautet die Umkehrfunktion von $\ f(x) = [mm] x^n [/mm] $ nun $\ [mm] f^{-1}(y) [/mm] = [mm] \wurzel[n]{y} [/mm] $ oder ist es $\ [mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] $ oder sind beide äquivalent?
Grüße,
ChopSuey
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> Lautet die Umkehrfunktion von [mm]\ f(x) = x^n[/mm] nun [mm]\ f^{-1}(y) = \wurzel[n]{y}[/mm]
> oder ist es [mm]\ f^{-1}(x) = \wurzel[n]{x}[/mm] oder sind beide
> äquivalent?
Die Umkehrfunktion von [mm]\ f(x) = x^n[/mm] lautet [mm]\ f^{-1}(x) = \wurzel[n]{x}[/mm]
Einer der Zwischenschritte zur Ermittlung der Umkehrfunktion lautet nämlich: Austauschen von x und y.
So jedenfalls habe ich es in meinem Buch verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Sa 20.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
vielen Dank soweit, für Eure schnellen Antworten.
@informix
Danke für Deinen Hinweis.
> >
> nein, du hast vergessen, dir Gedanken um den
>  Definitionsbereich zu machen:
> nur eine Funktion, die über dem betrachteten Intervall
> monoton steigend oder fallend ist, besitzt eine
> Umkehrfunktion.
Muss die Funktion über dem betrachteten Intervall streng monoton steigend/fallend oder nur monoton steigend/fallend sein?
Letzteres würde die Bedingung, dass zu jedem $\ y [mm] \in \IW [/mm] $ nur ein $\ x [mm] \in \ID [/mm] $ zugeordnet wird, nicht gerecht werden, oder?
>
> Hier findest du die entsprechende
> Anleitung
In diesem Beispiel verstehe ich nicht so ganz, weshalb nur das Intervall $\ x [mm] \in [/mm] [1; [mm] \infty [/mm] [ $ betrachtet wird.
Für $\ x [mm] \in [/mm] \ ] - [mm] \infty; [/mm] 1 [ $ ist die Funktion streng monoton fallend und erfüllt die Bedingung einer eineindeutigen Funktion doch ebenfalls, oder nicht?
Wie finde ich denn heraus, für welchen Definitionsbereich eine Funktion streng monoton ist?
Ich muss gerade feststellen, dass ich das mit der Monotonie wohl noch nicht so ganz begriffen habe.
Würde mich über Hilfe freuen 
>
>
> Gruß informix
Viele Grüße,
ChopSuey
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> Wie finde ich denn heraus, für welchen Definitionsbereich
> eine Funktion streng monoton ist?
> Ich muss gerade feststellen, dass ich das mit der
> Monotonie wohl noch nicht so ganz begriffen habe.
Um dir dies klar zu machen, betrachtest du am
besten den Graph der Funktion. Geht die Kurve
beim Durchlaufen auf und ab, ist sie nicht monoton.
Geht sie bei der Durchlaufung von links nach rechts
immer weiter nach oben (sie kann dabei allenfalls
auch stückweise auf einem konstanten y-Wert
verharren), so ist sie monoton steigend. Falls sie
auf keinem y-Wert auf diese Weise "verharrt", ist sie
streng monoton steigend.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 So 21.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke für die Antwort.
>
> Um dir dies klar zu machen, betrachtest du am
> besten den Graph der Funktion.
Ok. Ich dachte, es sei möglicherweise auch ohne Betrachtung des Graphen möglich.
> Geht die Kurve beim Durchlaufen auf und ab, ist sie nicht monoton.
Das gilt aber nur für den gesamten Definitionsbereich $\ [mm] \ID [/mm] $, oder?
Solche Funktionen, wie z.b. $\ f(x) = [mm] x^3 [/mm] $ sind ja in bestimmten Intervallen schon (streng) monoton, so wie ich das verstanden habe.
> Geht sie bei der Durchlaufung von links nach rechts
> immer weiter nach oben (sie kann dabei allenfalls
> auch stückweise auf einem konstanten y-Wert
> verharren), so ist sie monoton steigend. Falls sie
> auf keinem y-Wert auf diese Weise "verharrt", ist sie
> streng monoton steigend.
Genau, so kannte ich es auch bisher aus der Schule
Doch folgendes versteh ich nicht: In dem Beispiel Umkehrfunktion wird lediglich der Definitionsbereich für $\ x [mm] \ge [/mm] 1 $ in Betracht gezogen, obwohl doch für $\ x [mm] \le [/mm] 1 $ die funktion ebenfalls streng monoton (fallend) ist. Wieso also nur ein Teilintervall?
Nach der mir bekannten Definition ist die Parabel in ganz $\ [mm] \IR [/mm] $ streng monoton.
>
> LG
Vielen Dank soweit & viele Grüße,
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
der Monotoniebegriff bezieht sich immer auf eine
Funktion und ein bestimmtes Definitionsintervall.
So ist diese Funktion im Intervall [mm] (-\infty,1] [/mm] streng
monoton fallend und im Intervall [mm] [1,+\infty) [/mm] streng
monoton steigend. Insgesamt (also in [mm] \IR) [/mm] ist sie
nicht monoton.
> Solche Funktionen, wie z.b. [mm]\ f(x) = x^3[/mm] sind ja in
> bestimmten Intervallen schon (streng) monoton,
> so wie ich das verstanden habe.
Diese Funktion ist sogar auf ganz [mm] \IR [/mm] streng monoton
steigend.
> Nach der mir bekannten Definition ist die Parabel
> in ganz [mm]\ \IR[/mm] streng monoton.
Das ist falsch, falls du mit "Parabel" den Graph einer
quadratischen Funktion meinst.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:05 So 21.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo ChopSuey,
>
> der Monotoniebegriff bezieht sich immer auf eine
> Funktion und ein bestimmtes Definitionsintervall.
>
> So ist
> diese Funktion
> im Intervall [mm](-\infty,1][/mm] streng
> monoton fallend und im Intervall [mm][1,+\infty)[/mm] streng
> monoton steigend. Insgesamt (also in [mm]\IR)[/mm] ist sie
> nicht monoton.
>
> > Solche Funktionen, wie z.b. [mm]\ f(x) = x^3[/mm] sind ja in
> > bestimmten Intervallen schon (streng) monoton,
> > so wie ich das verstanden habe.
>
> Diese Funktion ist sogar auf ganz [mm]\IR[/mm] streng monoton
> steigend.
>
> > Nach der mir bekannten Definition ist die Parabel
> > in ganz [mm]\ \IR[/mm] streng monoton.
>
> Das ist falsch, falls du mit "Parabel" den Graph einer
> quadratischen Funktion meinst.
Hallo,
ich weiß nicht, ob ihr hier aneinander vorbei redet. Es stimmt schon, dass die Funktion überall STRENG monoton (und nicht etwa nur "normal" monoton mit zugelassenen konstanten Bereichen) ist.
Nur ist diese strenge Monotonie für einen Ast eine fallende und für den anderen Parabelast eine steigende.
Gruß Abakus
>
>
> LG Al-Chw.
>
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Die Funktion
[mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] f:x\mapsto (x-1)^2+2 [/mm] ist nicht monoton
Die Funktion
[mm] f_1:[1,\infty)\to\IR [/mm] mit [mm] f:x\mapsto (x-1)^2+2 [/mm] ist streng monoton steigend
Umkehrfunktion [mm] f_1^{-1}:[2,\infty)\to\IR [/mm] mit [mm] f_1^{-1}:x\mapsto 1+\wurzel{x-2}
[/mm]
Die Funktion
[mm] f_2:(-\infty,1]\to\IR [/mm] mit [mm] f:x\mapsto (x-1)^2+2 [/mm] ist streng monoton fallend
Umkehrfunktion [mm] f_2^{-1}:[2,\infty)\to\IR [/mm] mit [mm] f_1^{-1}:x\mapsto 1-\wurzel{x-2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 21.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Al-Chwarizmi,
jetzt hab ich's (glaube ich) verstanden. Danke für die ausführliche Hilfe.
Danke auch abakus.
Ein allerletztes noch:
> Die Funktion ist monoton steigend für $ x [mm] \ge [/mm] 1 $, weil der Scheitelpunkt > bei (1|2) liegt.
> Funktionen sind nur in ihrem Monotoniebereich umkehrbar! (Es könnte > auch der andere Bereich sein.)
Letzteres bedeutet lediglich, dass der Graph für $\ x [mm] \le [/mm] 1 $ monoton fallend und somit in diesem Intervall ebenfalls Umkehrbahr ist. Seh ich das richtig? Bzw. warum wird die Monotonie nur für $\ x [mm] \ge [/mm] 1 $ erwähnt? Oder ist die Umkehrfunktion für beide Intervalle äquivalent?
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist also eine Funktion nur in dem Teilintervall seiner Definitionsmenge umkehrbar, in welchem sie monotonie aufweist.
Ich hoffe, dass das so stimmt.
Viele Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> jetzt hab ich's (glaube ich) verstanden. Danke für die
> ausführliche Hilfe.
>
> Danke auch abakus.
>
> Ein allerletztes noch:
>
> > Die Funktion ist monoton steigend für [mm]x \ge 1 [/mm], weil der
> Scheitelpunkt > bei (1|2) liegt.
> > Funktionen sind nur in ihrem Monotoniebereich
> umkehrbar! (Es könnte > auch der andere Bereich sein.)
>
> Letzteres bedeutet lediglich, dass der Graph für [mm]\ x \le 1[/mm]
> monoton fallend und somit in diesem Intervall ebenfalls
> Umkehrbahr ist. Seh ich das richtig? Bzw. warum wird die
> Monotonie nur für [mm]\ x \ge 1[/mm] erwähnt? Oder ist die
> Umkehrfunktion für beide Intervalle äquivalent?
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, ist also eine
> Funktion nur in dem Teilintervall seiner Definitionsmenge
> umkehrbar, in welchem sie monotonie aufweist.
ja, wenn eine Funktion nicht im ganzen Definitionsbereich dieselbe Monotonie aufweist, gibt es möglicherweise mehrere Umkehrfunktionen.
Merke: Funktionsterm und Definitionsbereich zusammen beschreiben eine Funktion vollständig.
>
> Ich hoffe, dass das so stimmt.
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
>
>
Gruß informix
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> Letzteres bedeutet lediglich, dass der Graph für [mm]\ x \le 1[/mm]
> monoton fallend und somit in diesem Intervall ebenfalls
> Umkehrbahr ist. Seh ich das richtig? Bzw.
warum wird die Monotonie nur für [mm]\ x \ge 1[/mm] erwähnt?
stimmt gar nicht (siehe unten !)
> Oder ist die
> Umkehrfunktion für beide Intervalle äquivalent?
Nein ! (in einem früheren Post habe ich die beiden
möglichen Umkehrfunktionen genau angegeben)
> Wenn ich das richtig verstanden habe, ist also eine
> Funktion nur in dem Teilintervall seiner Definitionsmenge
> umkehrbar, in welchem sie Monotonie aufweist.
>
> Ich hoffe, dass das so stimmt.
eigentlich eben auch nicht, wenn man beliebige
Funktionen zulässt !
Wenn du bei der Aufgabenstellung genau hinschaust,
heisst es dort:
"Die Funktion ist monoton steigend für $ x [mm] \ge [/mm] 1 $, weil
der Scheitelpunkt bei (1|2) liegt.
Funktionen sind nur in ihrem Monotoniebereich umkehrbar!
(Es könnte auch der andere Bereich sein.)"
(mit dem "anderen Bereich ist der Bereich [mm] x\le [/mm] 1 gemeint)
Der rot markierte Satz ist falsch. Er gilt für stetige
Funktionen, im Allgemeinen aber nicht. Gegenbeispiel:
$f(x):=\ [mm] \begin{cases} x\quad & \mbox{für } 0\le x<1 \\ 3-x\quad & \mbox{für } 1\le x\le 2 \end{cases}$
[/mm]
Diese Funktion ist umkehrbar, aber nicht monoton.
Kleine Übung: Wie lautet die Umkehrfunktion ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 21.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Al-Chwarizmi,
> > Letzteres bedeutet lediglich, dass der Graph für [mm]\ x \le 1[/mm]
> > monoton fallend und somit in diesem Intervall ebenfalls
> > Umkehrbahr ist. Seh ich das richtig? Bzw.
> warum wird die Monotonie nur für [mm]\ x \ge 1[/mm] erwähnt?
>
> stimmt gar nicht (siehe unten !)
>
> > Oder ist die
> > Umkehrfunktion für beide Intervalle äquivalent?
>
> Nein ! (in einem früheren Post habe ich die beiden
> möglichen Umkehrfunktionen genau angegeben)
Stimmt! Das hab ich ausser Acht gelassen. Mich hat verwirrt, dass im Beispiel der Umkehrfunktionbestimmung die Umkehrfunktion nur für $\ x [mm] \ge [/mm] 1 $ erwähnung findet.
>
> > Wenn ich das richtig verstanden habe, ist also eine
> > Funktion nur in dem Teilintervall seiner Definitionsmenge
> > umkehrbar, in welchem sie Monotonie aufweist.
> >
> > Ich hoffe, dass das so stimmt.
>
> eigentlich eben auch nicht, wenn man beliebige
> Funktionen zulässt !
>
> Wenn du bei der Aufgabenstellung genau hinschaust,
> heisst es dort:
>
> "Die Funktion ist monoton steigend für [mm]x \ge 1 [/mm], weil
> der Scheitelpunkt bei (1|2) liegt.
> Funktionen sind nur in ihrem Monotoniebereich umkehrbar!
> (Es könnte auch der andere Bereich sein.)"
>
> (mit dem "anderen Bereich ist der Bereich [mm]x\le[/mm] 1 gemeint)
Ok, so hab ich es verstanden.
>
>
> Der rot markierte Satz ist falsch. Er gilt für stetige
> Funktionen, im Allgemeinen aber nicht. Gegenbeispiel:
>
> [mm]f(x):=\ \begin{cases} x\quad & \mbox{für } 0\le x<1 \\ 3-x\quad & \mbox{für } 1\le x\le 2 \end{cases}[/mm]
>
> Diese Funktion ist umkehrbar, aber nicht monoton.
>
> Kleine Übung: Wie lautet die Umkehrfunktion ?
>
>
> LG Al-Chw.
>
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber...
$\ [mm] f^{-1}(x) =\begin{cases} x\quad & \mbox{für } 0\le x<1 \\ 3-x\quad & \mbox{für } 1\le x\le 2 \end{cases} [/mm] $
...bei mir ist die Umkehrfunktion identisch zur ursprünglichen Form. Kann das sein?
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 So 21.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> > > Letzteres bedeutet lediglich, dass der Graph für [mm]\ x \le 1[/mm]
> > > monoton fallend und somit in diesem Intervall ebenfalls
> > > Umkehrbahr ist. Seh ich das richtig? Bzw.
> > warum wird die Monotonie nur für [mm]\ x \ge 1[/mm] erwähnt?
> >
> > stimmt gar nicht (siehe unten !)
> >
> > > Oder ist die
> > > Umkehrfunktion für beide Intervalle äquivalent?
> >
> > Nein ! (in einem früheren Post habe ich die beiden
> > möglichen Umkehrfunktionen genau angegeben)
>
> Stimmt! Das hab ich ausser Acht gelassen. Mich hat
> verwirrt, dass im Beispiel der
> Umkehrfunktionbestimmung
> die Umkehrfunktion nur für [mm]\ x \ge 1[/mm] erwähnung findet.
>
>
>
> >
> > > Wenn ich das richtig verstanden habe, ist also eine
> > > Funktion nur in dem Teilintervall seiner Definitionsmenge
> > > umkehrbar, in welchem sie Monotonie aufweist.
> > >
> > > Ich hoffe, dass das so stimmt.
> >
> > eigentlich eben auch nicht, wenn man beliebige
> > Funktionen zulässt !
> >
> > Wenn du bei der Aufgabenstellung genau hinschaust,
> > heisst es dort:
> >
> > "Die Funktion ist monoton steigend für [mm]x \ge 1 [/mm], weil
> > der Scheitelpunkt bei (1|2) liegt.
> > Funktionen sind nur in ihrem Monotoniebereich
> umkehrbar!
> > (Es könnte auch der andere Bereich sein.)"
> >
> > (mit dem "anderen Bereich ist der Bereich [mm]x\le[/mm] 1 gemeint)
>
> Ok, so hab ich es verstanden.
>
> >
> >
> > Der rot markierte Satz ist falsch. Er gilt für stetige
> > Funktionen, im Allgemeinen aber nicht. Gegenbeispiel:
> >
> > [mm]f(x):=\ \begin{cases} x\quad & \mbox{für } 0\le x<1 \\ 3-x\quad & \mbox{für } 1\le x\le 2 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Diese Funktion ist umkehrbar, aber nicht monoton.
>
> >
> > Kleine Übung: Wie lautet die Umkehrfunktion ?
> >
> >
> > LG Al-Chw.
> >
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher, aber...
>
> [mm]\ f^{-1}(x) =\begin{cases} x\quad & \mbox{für } 0\le x<1 \\ 3-x\quad & \mbox{für } 1\le x\le 2 \end{cases}[/mm]
>
> ...bei mir ist die Umkehrfunktion identisch zur
> ursprünglichen Form. Kann das sein?
Stimmt.
Gruß Abakus
>
> Grüße
> ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 So 21.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Danke für Eure Geduld
Grüße,
ChopSuey
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> > [mm]f(x):=\ \begin{cases} x\quad & \mbox{für } 0\le x<1 \\ 3-x\quad & \mbox{für } 1\le x\le 2 \end{cases}[/mm]
>
> > Diese Funktion ist umkehrbar, aber nicht monoton.
>
> >
> > Kleine Übung: Wie lautet die Umkehrfunktion ?
> >
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher, aber...
>
> [mm]\ f^{-1}(x) =\begin{cases} x\quad & \mbox{für } 0\le x<1 \\ 3-x\quad & \mbox{für } 1\le x\le 2 \end{cases}[/mm]
>
> ...bei mir ist die Umkehrfunktion identisch zur
> ursprünglichen Form. Kann das sein?
Genau so ist es. Zuerst war ich selber überrascht,
als ich dies bei meinem "locker aus dem Ärmel
geschüttelten" Funktionsbeispiel feststellte 
Doch ich muss irgendwie besondere Ärmel haben,
denn es geschah schon so oft, dass ich bei frei
erfundenen Aufgabenstellungen, besonders in Vek-
torgeometrie, auf "schöne" ganzzahlige Lösungen
kam, deutlich öfter als die Wahrscheinlichkeits-
theorie eigentlich zulassen würde ...
LG Al-Chw.
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> [mm]\ f(x) = y = x^n[/mm]
> Hallo,
>
> es geht eigentlich weniger um die oben genannte Funktion,
> sondern vielmehr um die Umkehrfunktion ganz allgmein.
>
> ich bin mir nicht so ganz sicher, ob ich das richtig
> verstanden habe.
>
> Lautet die Umkehrfunktion von [mm]\ f(x) = x^n[/mm] nun [mm]\ f^{-1}(y) = \wurzel[n]{y}[/mm]
> oder ist es [mm]\ f^{-1}(x) = \wurzel[n]{x}[/mm] oder sind beide
> äquivalent?
>
> Grüße,
> ChopSuey
Hallo ChopSuey,
mit welchen Buchstaben als Variablen man eine
Funktion notiert, ist eigentlich einerlei.
Man kann also ebensogut schreiben:
[mm] f^{-1}(x)=\wurzel[n]{x}
[/mm]
oder
[mm] f^{-1}(y)=\wurzel[n]{y}
[/mm]
oder
[mm] f^{-1}(j)=\wurzel[n]{j}
[/mm]
LG Al-Chw.
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