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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 So 23.01.2005 | | Autor: | daimon76 |
die Ursprüngliche funktion war:
y = [mm] \bruch{10^x-10^{-x}}{10^x+10^{-x}}+1
[/mm]
aufgabe war es davon die umkehrfunktion zu erstellen.
selber... oder fast selber.... bin ich jetzt schon so weit:
Y = [mm] 10^{2x}(y-1)+y=10^{2x}
[/mm]
bevor ich da jetzt selber weitermache und mich wieder in irgendeiner Weise verrenne frage ich euch lieber wie die aufgabe richtig zu lösen ist. ich vermute das ich wegen den zwei [mm] 10^{2x} [/mm] irgendwie mit log oder ln arbeiten muß, doch das liegt bei mir schon eine weile zurück und da fehlt mir einfach die praktische übung.
danke j.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo daimon76,
> die Ursprüngliche funktion war:
>
> y = [mm]\bruch{10^x-10^{-x}}{10^x+10^{-x}}+1
[/mm]
[m]\begin{gathered}
y = \frac{{10^x - 10^{ - x} }}
{{10^x + 10^{ - x} }} + 1 = \frac{{10^x - \frac{1}
{{10^x }}}}
{{10^x + \frac{1}
{{10^x }}}} + 1 = \frac{{\frac{{10^{2x} }}
{{10^x }} - \frac{1}
{{10^x }}}}
{{\frac{{10^{2x} }}
{{10^x }} + \frac{1}
{{10^x }}}} + 1 = \frac{{\frac{{10^{2x} - 1}}
{{10^x }}}}
{{\frac{{10^{2x} + 1}}
{{10^x }}}} + 1 = \frac{{10^{2x} - 1}}
{{10^{2x} + 1}} + \frac{{10^{2x} + 1}}
{{10^{2x} + 1}} \hfill \\
= \frac{{10^{2x} - 1 + 10^{2x} + 1}}
{{10^{2x} + 1}} = \frac{{2*10^{2x} }}
{{10^{2x} + 1}} \Leftrightarrow y\left( {10^{2x} + 1} \right) = 2*10^{2x} = y10^{2x} + y \Leftrightarrow y = 2*10^{2x} - y10^{2x} \hfill \\
= 10^{2x} \left( {2 - y} \right) \Leftrightarrow \frac{y}
{{2 - y}} = 10^{2x} \Rightarrow \log _{10} \left( {\frac{y}
{{2 - y}}} \right) = \log _{10} \left( {10^{2x} } \right) = 2x \Leftrightarrow x = \frac{1}
{2}\log _{10} \left( {\frac{y}
{{2 - y}}} \right) \hfill \\
= \log _{10} \left( {\sqrt {\frac{y}
{{2 - y}}} } \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Zuerst habe ich einfach nur Termumformungen und Äquivalenzumformungen gemacht. Danach habe ich auf beiden Seiten die Umkehrfunktion zu $g(x) := [mm] 10^x$ [/mm] angewendet. Und daraus eine neue Gleichung gefolgert. Danach habe ich mit den Gesetzen des Logarithmus gearbeitet.
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 So 23.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Antwort davor ist völlig richtig, aber vielleicht sieht es nicht so trickreich aus wenn du erstmal schreibst z=logx ( bei Exponentialfkt. lohnt sich das oft)
> y = [mm]\bruch{10^x-10^{-x}}{10^x+10^{-x}}+1
[/mm]
wird dann zu: y= [mm] \bruch{z- \bruch{1}{z}}{z+ \bruch{1}{z}} [/mm] +1 = [mm] \bruch{2z^{2}}{z^{2}+1}
[/mm]
das kann man leicht nach z auflösen, dann z= log x einsetzen und fertig bist du
> selber... oder fast selber.... bin ich jetzt schon so
> weit:
>
> Y = [mm]10^{2x}(y-1)+y=10^{2x}
[/mm]
leider ist das falsch, wie kamst du dahin?
mvG leduart
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