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| Aufgabe | Untersuchen Sie für die untenstehende Funktion $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] ob eine Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}$ [/mm] existiert, und bestimmen Sie die Ableitung [mm] $(f^{-1})'$ [/mm] in den Punkten, in denen es sie gibt.
[mm] $8x^3-12x^2+6x+2$ [/mm] |
Hi,
ich weiß z. B. das die e-Funktion die Umkehrfunktion von ln ist, aber ich habe keine Ahnung wie man von der Funktion oben die Umkehrfunktion bestimmen kann bzw. wie man überhaupt prüfen kann ob es eine Umkehrfunktion gibt.
Wäre nett wenn ihr mir einen Tipp geben könntet oder helft.
Danke
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also die Ableitung der Umkehrfunktion, kannst du bestimmen durch die Ableitung von f und dann die Regel über Ableitung der Umkehrfunktion anwenden.
Ob f eine Umkehrfunktion besitzt, hängt davon ab, ob f:I nach f(I) bijektiv ist. Was ist den I. Dann kannst du gucken, mithilfe der Ableitung, ob f streng monoton ist.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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| Aufgabe | Untersuchen Sie für die untenstehende Funktion $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] ob eine Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}$ [/mm] existiert, und bestimmen Sie die Ableitung [mm] $(f^{-1})'$ [/mm] in den Punkten, in denen es sie gibt.
[mm] $f(x)=8x^3-12x^2+6x+2$ [/mm] |
Hi,
ich habe jetzt von der Funktion [mm] $f(x)=8x^3-12x^2+6x+2$ [/mm] die Ableitung gebildet: [mm] $f(x)'=24x^2-24x+6$.
[/mm]
Leider kenne ich keine Regeln über Ableitung der Umkehrfunktion, wo kann ich die nachlesen?
Wie kann ich prüfen ob eine Funktion bijektiv ist? Ich weiß, dass bei einer bijektiven Funktion bei einem Wert auf der x-Achse jeweils nur ein Funktionswert auf der y-Achse zugewiesen wird. Aber wie prüfe ich das?
Danke für die Hilfe.
Grüße
> Hallo,
>
> also die Ableitung der Umkehrfunktion, kannst du bestimmen
> durch die Ableitung von f und dann die Regel über Ableitung
> der Umkehrfunktion anwenden.
>
> Ob f eine Umkehrfunktion besitzt, hängt davon ab, ob f:I
> nach f(I) bijektiv ist. Was ist den I. Dann kannst du
> gucken, mithilfe der Ableitung, ob f streng monoton ist.
>
> Ich hoffe, es hat dir geholfen.
>
> Gruß
> Hund
Danke, du hast mir damit schon weiter geholfen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Di 29.05.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo KnockDown,
> Untersuchen Sie für die untenstehende Funktion [mm]f:I \to \IR[/mm]
> ob eine Umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm] existiert, und bestimmen Sie
> die Ableitung [mm](f^{-1})'[/mm] in den Punkten, in denen es sie
> gibt.
>
> [mm]f(x)=8x^3-12x^2+6x+2[/mm]
> Hi,
>
> ich habe jetzt von der Funktion [mm]f(x)=8x^3-12x^2+6x+2[/mm] die
> Ableitung gebildet: [mm]f(x)'=24x^2-24x+6[/mm].
>
> Leider kenne ich keine Regeln über Ableitung der
> Umkehrfunktion, wo kann ich die nachlesen?
Die Regel findest Du in fast jedem Analysisbuch im Abschnitt über die Umkehrfunktion.
In Kurzform lautet sie so:
$ [mm] f^{-1}'(y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(x)} [/mm] $
>
> Wie kann ich prüfen ob eine Funktion bijektiv ist? Ich
> weiß, dass bei einer bijektiven Funktion bei einem Wert auf
> der x-Achse jeweils nur ein Funktionswert auf der y-Achse
> zugewiesen wird. Aber wie prüfe ich das?
indem du z.B. zeigst, dass die Funktion streng monoton steigend ist. Das kannst du an Hand der Ableitung sehr schnell sehen.
$ [mm] f(x)'=24x^2-24x+6 [/mm] = [mm] 6(2x-1)^2 [/mm] $
Kommst du jetzt klar?
Gruß
Sigrid
>
>
> Danke für die Hilfe.
>
>
> Grüße
>
>
>
> > Hallo,
> >
> > also die Ableitung der Umkehrfunktion, kannst du bestimmen
> > durch die Ableitung von f und dann die Regel über Ableitung
> > der Umkehrfunktion anwenden.
> >
> > Ob f eine Umkehrfunktion besitzt, hängt davon ab, ob f:I
> > nach f(I) bijektiv ist. Was ist den I. Dann kannst du
> > gucken, mithilfe der Ableitung, ob f streng monoton ist.
> >
> > Ich hoffe, es hat dir geholfen.
> >
> > Gruß
> > Hund
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> Danke, du hast mir damit schon weiter geholfen :)
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