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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:57 Mi 25.01.2006 | | Autor: | HS86 |
Gegeben sei folgende nachfragefunktion:
$p (x) = 800 e ^{-0,01 x}$
Hallo,
ich muss zu dieser Funktion die Umkehrfunktion bilden... ich weiß nur leider überhaupt nicht wie ich das anstelllen soll...
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:42 Mi 25.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallöchen,
beim Bilden der Umkehrfunktion gehst Du generell folgendermaßen vor:
Bei der gegebenen Gleichung
y = f(x)
vertauschst Du x und y und löst dann nach y auf.
Anschaulich macht das auch Sinn, denn die Umkehrfunktion ist ja (falls sie existiert!) die an der Winkelhalbierenden gespiegelte Funktion.
Bei Dir heißt das
y = [mm] 800*e^{-\bruch{1}{100}x} [/mm] x und y vertauschen
x = [mm] 800*e^{-\bruch{1}{100}y} [/mm] nun nach y auflösen
[mm] \bruch{x}{800} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{100}y} [/mm] logarithmieren
[mm] ln(\bruch{x}{800}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{100}*y [/mm] durch [mm] -\bruch{1}{100} [/mm] teilen
[mm] -100*ln(\bruch{x}{800}) [/mm] = y fertig!
Zu beachten ist, dass Deine ursprüngliche Funktion p für alle x [mm] \in \IR [/mm] definiert ist und Werte in [mm] \IR^{+}, [/mm] also größer als 0 annimmt.
Bei der Umkehrfunktion ist auch das genau umgekehrt: Du darfst nur positive x einsetzen, denn der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert, und die Umkehrfunktion nimmt Werte in [mm] \IR [/mm] an. Kurz:
[mm] p:\IR \to \IR^{+} [/mm] und [mm] p^{-1}:\IR^{+} \to \IR
[/mm]
Generell muss man, wenn man eine Gleichung logarithmiert, nicht unbedingt den NATÜRLICHEN Logarithmus nehmen - hier bietet es sich allerdings an, da ln die Umkehrfunktion von e darstellt und sich deshalb mit dem e weghebt.
Liebe Grüße,
Matthias.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mi 25.01.2006 | | Autor: | HS86 |
Ok... dankeschön...
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