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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Hab mal ne Frage bezüglich folgender Aufgabe:
Für a [mm] \in \IR [/mm] sei die Funktion [mm] f_{a}:[0,e] \to \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f_{a}(x):=\begin{cases} a*(x^{2}-1) , & \mbox{für }0 \le x \le 1 \\ \ln(x^{3}), & \mbox{für } 1\le x \le e \end{cases}
[/mm]
und ich soll nun in Abhängigkeit von a bestimmen, ob [mm] f_{a} [/mm] eine Umkehrfunktion besitzt und diese bestimmen.
Also die Umkehrfunktion bestimmen ist ja nicht das Problem, aber wie ist das mit dem a gemeint? Es ist doch so, falls f injektiv ist, besitzt f die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}. [/mm] Aber der Teil [mm] a*(x^{2}-1) [/mm] ist doch nicht injektiv, oder wie hängt das jetzt mit dem a zusammen?
Für [mm] ln(x^{3}) [/mm] kann ich doch einfach die Umkehrfunktion bilden oder muss ich hier noch irgendwas beachten?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Mi 11.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Franzie,
zunächst mal ein paar kleine Hinweise als Denkanstoss:
1. x [mm] \mapsto (x^2-1) [/mm] ist auf [0;1] sicher injektiv (wo liegt denn der Scheitel der Parabel?)
2. Für welche(s) a ist [mm]x \mapsto a\cdot(x^2-1)[/mm] nicht mehr injektiv?
Wenn Du das dann hast bleibt noch die Preisfrage:
Wenn [mm]f_a|_{[0;1]}[/mm] injektiv ist und [mm]f_a|_{[1;e]}[/mm] injektiv ist (das ist ja unabhängig von a der Fall), warum kann es dann trotzdem passieren, dass [mm] f_a [/mm] insgesamt nicht injektiv ist?
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Ja, hast Recht. Die erste Funktion ist ja im Intervall [0,1] injektiv. Ich bin von der gesamten quadratischen Funktion ausgegangen, hab das Intervall nicht beachtet. Aber es ist doch eigentlich egal, wie a beschaffen ist. Ist a kleiner 0, wird die Parabel gestaucht und bei a größer 0 gestreckt, sie bleibt doch aber in meinem vorgegebenen Intervall injektiv. Ich muss höchstens a=0 ausschließen (keine injektive Abbildung), oder?
Ach ja, und da beide Funktionen jeweil auch für den Wert 1 definiert sind, ist die Funktion hier nicht injektiv. Also kann ich doch meine Umkehrfunktionen beide berechnen und mache einfach die Einschränkung, dass [mm] f^{-1} [/mm] bei x=1 nicht existiert und dann muss ich noch die Bedingung mit a einbringen und das müsste es doch gewesen sein. Hab ich was vergessen?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mi 11.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Ja, hast Recht. Die erste Funktion ist ja im Intervall
> [0,1] injektiv. Ich bin von der gesamten quadratischen
> Funktion ausgegangen, hab das Intervall nicht beachtet.
> Aber es ist doch eigentlich egal, wie a beschaffen ist. Ist
> a kleiner 0, wird die Parabel gestaucht und bei a größer 0
> gestreckt,
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") für |a| > 1 wird sie gestreckt, für |a| < 1 wird sie gestaucht. Das Vorzeichen von a bestimmt, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist!
> sie bleibt doch aber in meinem vorgegebenen
> Intervall injektiv. Ich muss höchstens a=0 ausschließen
> (keine injektive Abbildung), oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ach ja, und da beide Funktionen jeweil auch für den Wert 1
> definiert sind, ist die Funktion hier nicht injektiv.
Dass für x=1 beide Funktionsterme gelten ist etwas unglücklich. Wenn man Pech hat kann das dazu führen, dass f gar keine Funktion mehr ist(denn eindeutig müssen Funktionen ja immer sein). In diesem Fall ist aber f(1) = 0, egal welchen Term man zur Berechnung nimmt, also haben wir hier erst mal kein Problem.
> Also
> kann ich doch meine Umkehrfunktionen beide berechnen und
> mache einfach die Einschränkung, dass [mm]f^{-1}[/mm] bei x=1 nicht
> existiert und dann muss ich noch die Bedingung mit a
> einbringen und das müsste es doch gewesen sein. Hab ich was
> vergessen?
Ja, nämlich meine Preisfrage zu beantworten 
SKizziere doch mal den Graphen von [mm] f_{-2}. [/mm] Ist die Funktion dann noch injektiv? Was ist denn [mm]f_{-2}^{-1}(\{1\})[/mm]?
>
> liebe Grüße
Gruß
piet
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