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Guten Abend,
Ist die Funktion f umkehrbar?
f(x)=2 * [mm] \wurzel{5-x}
[/mm]
mit x >= 5
Nur Streng monotone funktionen sind umkehrbar.
Um dies festzustellen habe ich die Ableitung gebildet.
f'(x) = [mm] \bruch{-1}{ \wurzel{5-x}}
[/mm]
und für die umkehrfunktion:
[mm] f(x)^{-1} [/mm] = 5 - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] x^{2}
[/mm]
Ich glaube die Funktion ist umkehrbar, jedoch frag ich mich wie das bei x=5 aussieht, da man in diesem fall bei der Ableitung durch 0 teilen würde.
Wie ergeben sich die richtigen Werte und Definitionsbereiche für Funktion und Umkehrfunktion?
Danke
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Hi, donpsycho,
> Ist die Funktion f umkehrbar?
>
> f(x)=2 * [mm]\wurzel{5-x}[/mm]
>
> mit x >= 5
>
> Nur Streng monotone funktionen sind umkehrbar.
Stimmt nicht!
Das "nur" ist falsch!
Zumindest aber hast Du Recht, wenn Du sagst:
Ist eine Funktion streng monoton, so ist sie umkehrbar!
> Um dies festzustellen habe ich die Ableitung gebildet.
>
> f'(x) = [mm]\bruch{-1}{ \wurzel{5-x}}[/mm]
Stimmt!
> und für die Umkehrfunktion:
>
> [mm]f(x)^{-1}[/mm] = 5 - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm]x^{2}[/mm]
Stimmt auch, wobei für deren Definitionsmenge gilt: x [mm] \ge [/mm] 0.
> Ich glaube die Funktion ist umkehrbar, jedoch frag ich
> mich wie das bei x=5 aussieht, da man in diesem fall bei
> der Ableitung durch 0 teilen würde.
Hat nichts zu sagen, denn: f'(x) < 0 für x > 5.
Da die Funktion aber auch für x=5 STETIG ist, kann dieser Wert (also x=5) zum Steigungsintervall dazugenommen werden:
Die Funktion ist also streng monoton abnehmend in ihrer gesamten Definitionsmenge ] [mm] -\infty [/mm] ; 5 ]
und demnach auch in ihrer gesamten Definitionsmenge umkehrbar!
> Wie ergeben sich die richtigen Werte und
> Definitionsbereiche für Funktion und Umkehrfunktion?
Naja: [mm] D_{f^{-1}} [/mm] = [ 0 ; [mm] +\infty [/mm] [ und [mm] W_{f^{-1}} [/mm] = [mm] ]-\infty [/mm] ; 5 ]
mfG!
Zwerglein
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