Umkehrbarkeit global und lokal < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Die Abbildung [mm] $f:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}^2$
[/mm]
[mm] $f(x_1,x_2)=\vektor{ x_1^2-x_2^2\\2x_1x_2}$
[/mm]
ist bei jedem Punkt [mm] $(a_1,a_2)\in\mathbb{R}^2 [/mm] (0,0)$ lokal umkehrbar
b)Beim Punkt $(0,0)$ ist sie es nicht.
c) Die Abbildung [mm] $g:\mathbb{R}->\mathbb{R}$, [/mm] gegeben durch
[mm] $g(x)=x^3+x^2$
[/mm]
ist global umkehrbar, d.h.: es gibt eine eindeutige Funktion [mm] $z:\mathbb{R}->\mathbb{R}$ [/mm] so, dass $f(x)=y$ genau dann wenn, $x=z(y)$
d) Andererseits ist $f'(0)=0$. Steht die in (c) betrachtete Tatsache tatsächlich nicht im Widerspruch zum Satz über lokale Umkehrbarkeit, in dem [mm] $f'\not= [/mm] 0$ vorausgesetzt wird? |
Hallo,
ich bin die Aufgabe so angegangen:
a) 1. Ich habe die Ableitung bestimmt:
[mm] $J_f=\pmat{2x_1 & -2x_2 \\ 2x_2 & 2x_1}$
[/mm]
2. Nach dem Satz über lokale umkehrbarkeit darf die Determinante von $f$ nicht null werden, also:
[mm] $detJ_f=2x_1*2x_1-(-2x_2*2x_2)=2x_1^2+2x_2^2\not=0 \mbox{für} (x_1,x_2)\not=(0,0)$
[/mm]
Somit ist die Funktion f lokal umkehrbar.
b) Naja, da die Determinante bei dem Punkt (0,0) gleich null wird, ist sie nicht lokal umkehrbar.
c) so da komm ich jetzt nicht weiter. Kann mir da vlt jemand einen kleinen Tipp geben was ich hier betrachten muss damit ich mich weiter an der Aufgabe versuchen kann.
d) Kommt sobald ich c) habe :)
Danke schon mal :)
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> c) Die Abbildung [mm]g:\mathbb{R}->\mathbb{R}[/mm], gegeben durch
> [mm]g(x)=x^3+x^2[/mm]
> ist global umkehrbar, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
dies ist schlicht und einfach falsch !
Der Graph von g hat einen Hoch- und einen Tiefpunkt.
> d.h.: es gibt eine eindeutige
> Funktion [mm]z:\mathbb{R}->\mathbb{R}[/mm] so, dass [mm]f(x)=y[/mm] genau
> dann wenn, [mm]x=z(y)[/mm]
> d) Andererseits ist [mm]f'(0)=0[/mm]. Steht die in (c) betrachtete
> Tatsache tatsächlich nicht im Widerspruch zum Satz über
> lokale Umkehrbarkeit, in dem [mm]f'\not= 0[/mm] vorausgesetzt wird?
Die Bedingung [mm] f'(x)\not=0 [/mm] ist nicht notwendig für lokale
Umkehrbarkeit !
Beispiel: Die Funktion [mm] f:x\mapsto x^3 [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] streng
monoton steigend und hat deshalb auch eine eindeutige
Umkehrfunktion, nämlich
$\ [mm] f^{-1}:\ y\mapsto\ sgn(y)*\sqrt[3]{|y|}$
[/mm]
Die Funktion f hat aber bei x=0 eine waagrechte Tangente,
es gilt f'(0)=0 .
LG , Al-Chw.
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> > c) Die Abbildung [mm]g:\mathbb{R}->\mathbb{R}[/mm], gegeben durch
> > [mm]g(x)=x^3+x^2[/mm]
> > ist global umkehrbar,
>
> dies ist schlicht und einfach falsch !
> Der Graph von g hat einen Hoch- und einen Tiefpunkt.
Jap danke!!! Unser inkompetenter Prof. ist nicht in der Lage uns Aufgaben zu geben, die lösbar sind. Kommt öfters mal vor.
>
> > d.h.: es gibt eine eindeutige
> > Funktion [mm]z:\mathbb{R}->\mathbb{R}[/mm] so, dass [mm]f(x)=y[/mm] genau
> > dann wenn, [mm]x=z(y)[/mm]
>
> > d) Andererseits ist [mm]f'(0)=0[/mm]. Steht die in (c) betrachtete
> > Tatsache tatsächlich nicht im Widerspruch zum Satz über
> > lokale Umkehrbarkeit, in dem [mm]f'\not= 0[/mm] vorausgesetzt wird?
>
>
> Die Bedingung [mm]f'(x)\not=0[/mm] ist nicht notwendig für
> lokale
> Umkehrbarkeit !
> Beispiel: Die Funktion [mm]f:x\mapsto x^3[/mm] ist auf ganz [mm]\IR[/mm]
> streng
> monoton steigend und hat deshalb auch eine eindeutige
> Umkehrfunktion, nämlich
>
> [mm]\ f^{-1}:\ y\mapsto\ sgn(y)*\sqrt[3]{|y|}[/mm]
>
> Die Funktion f hat aber bei x=0 eine waagrechte Tangente,
> es gilt f'(0)=0 .
>
> LG , Al-Chw.
>
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> Zeigen Sie:
> a) Die Abbildung [mm]f:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}^2[/mm]
> [mm]f(x_1,x_2)=\vektor{ x_1^2-x_2^2\\2x_1x_2}[/mm]
> ist bei jedem
> Punkt [mm](a_1,a_2)\in\mathbb{R}^2 (0,0)[/mm] lokal umkehrbar
> b)Beim Punkt [mm](0,0)[/mm] ist sie es nicht.
> Hallo,
>
> ich bin die Aufgabe so angegangen:
> a) 1. Ich habe die Ableitung bestimmt:
> [mm]J_f=\pmat{2x_1 & -2x_2 \\ 2x_2 & 2x_1}[/mm]
> 2. Nach dem Satz
> über lokale umkehrbarkeit darf die Determinante von [mm]f[/mm]
> nicht null werden, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das ist zumindest unklar formuliert und lässt vermuten,
dass du da noch nicht ganz klar siehst.
> also:
> [mm]detJ_f=2x_1*2x_1-(-2x_2*2x_2)=2x_1^2+2x_2^2 \not=0 \quad \mbox{für}\quad (x_1,x_2)\not=(0,0)[/mm]
nur so nebenbei: $\ 2*2\ =\ 2$ ???
> Somit ist die Funktion f lokal umkehrbar.
Die korrekte Argumentation wäre:
Da für [mm] (x_1,x_2)\not=(0,0) [/mm] die Jacobideterminante ungleich 0 ist,
folgt, dass bei allen solchen Punkten die Abbildung lokal
umkehrbar ist.
> b) Naja, da die Determinante bei dem Punkt (0,0) gleich
> null wird, ist sie nicht lokal umkehrbar.
Diese Argumentation ist falsch !
Gegenbeispiel: Für die Abbildung $ [mm] f:\m\pmat{x\\y}\ \mapsto\ \vektor{ x^3\\y^3} [/mm] $
verschwindet die Jacobi-Determinante im Punkt (0,0) .
Trotzdem ist die Abbildung auch da lokal umkehrbar.
LG , Al-Chw.
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> Zeigen Sie:
> a) Die Abbildung [mm]f:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}^2[/mm]
> [mm]f(x,y)\ =\ \vektor{ x^2-y^2\\2*x*y}[/mm]
> ist bei jedem Punkt [mm](x_P,y_P)\in\mathbb{R}^2\smallsetminus \{\, (0,0)\,\}[/mm]
> lokal umkehrbar
> b) Beim Punkt [mm](0,0)[/mm] ist sie es nicht.
(Ich habe etwas handlichere Bezeichnungen eingeführt !)
Für die Umgebung des Nullpunkts ist eine spezielle
Untersuchung nötig, denn aufgrund der Tatsache, dass
dort die Jordandeterminante Null ergibt, kann man
noch keine Entscheidung fällen !
Eine solche Untersuchung kann man so anstellen,
dass man sich einfach einmal mit dem Gleichungs-
system beschäftigt, das sich aus
[mm]f(x,y)\ =\ \vektor{ a\\b}[/mm]
mit vorgegebenen (kleinen) a und b ergibt.
LG , Al-Chw.
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