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Hallo zusammen. Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender AUfgabe:
Ich soll hier zunächst gucken ob die Funktion [mm] f(x)=1+x+\bruch{1}{2}sin(x) [/mm] umkehrbar ist. Das heißt erste Ableitung bilden und nach der monotonie schauen. [mm] f'(x)=1-\bruch{1}{2}cos(x) [/mm] das ist größer null und von daher streng monoton steigend. Als nächstes soll ich dann die Umkehrabbildung bilden, um somit [mm] f^{-1}(1) [/mm] und [mm] (f^{-1})'(1) [/mm] bilden zu können. Allerdings weiß ich nicht wie ich das umkehren kann. Mich verwirrt, dass ich ja im Prinzip zweimal x vorhanden habe also y=1+ x [mm] -\bruch{1}{2}sin [/mm] ( x )
Ich bitte um jede Hilfe. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Oh danke für die Korrektur.
Das mit der Umkehrregel ist gut. Allerdings brauche ich die doch erst für [mm] f^{-1}'(1) [/mm] oder???
Ich muss ja zunächst [mm] f^{-1}(1) [/mm] bilden. Also die Umkehrabbildung bilden und dann die 1 einsetzen.
Oder ich versteh das noch nicht so richtig. Denn du sagst ja, dass es nicht unbedingt eine Umkehrabbildung geben muss. Aber wie kriege ich das raus??? Ich brauche ja auf alle Fälle [mm] f^{-1}(x) [/mm] denn bevor ich die Ableitung der umkehrabbildung bilden kann, brauche ich doch erstmal die Umkehrabbildung oder???
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> Ich muss ja zunächst [mm]f^{-1}(1)[/mm] bilden. Also die
> Umkehrabbildung bilden und dann die 1 einsetzen.
Hallo,
Du suchst also das x mit [mm] f^{-1}(1)=x.
[/mm]
Also das x mit 1=f(x).
Das sollte zu finden sein.
Gruß v. Angela
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Gut das wäre dann für x=0 der Fall. Aber woher weißt du, dass man das so schreiben kann. Ich habe jetzt aus der Aufgabe herausgelesen, dass ich die Umkehrabbildung bilden soll.
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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> Gut das wäre dann für x=0 der Fall. Aber woher weißt du,
> dass man das so schreiben kann. Ich habe jetzt aus der
> Aufgabe herausgelesen, dass ich die Umkehrabbildung bilden
> soll.
Hallo,
ja eben, [mm] f^{-1} [/mm] ist die Umkehrabbildung v. f.
Achso, vielleicht meinst das: schreiben tue ich dann natürlich
"Es ist f(0)=1, also ist [mm] f^{-1}(1)=0."
[/mm]
Gruß v. Angela
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Super jetzt habe ich es. Dankeschön!!!
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Ja genau sowas meinte ich. Also ich probier das jetzt mal ganz genau zu erklären.
Also wir haben ja wie gesagt die FUnktion [mm] f(x)=1+x-\bruch{1}{2}sin(x). [/mm] Die Aufgabe lautet nun zu gucken ob die Funktion umkehrbar ist. Also muss ich ja gucken, ob die Funktion monoton verläuft. Das heit ich brauche die erste ABlewitung [mm] f'(x)=1+\bruch{1}{2}cos(x)>0 [/mm] das heißt die funkltion ist monoton steigend, also ujmkehrbar. In der Aufgabe steht jetzt nicht, dass ich diese Umkehrabbildung angeben soll. Ich soll nur gucken, ob die Funktion umkehrbar ist. Das ist sie ja.
Als nächstes soll jetzt [mm] f^{-1}(1) [/mm] und [mm] (f^{-1})'(1) [/mm] ermittelt werden. [mm] f^{-1}
[/mm]
beschreibt ja die Umkehrabbildung. Also habe ich mir jetzt gedacht, dass ich vielleicht doch die Umkehrabbildung von [mm] f(x)=1+x-\bruch{1}{2}sin(x) [/mm] brauch um zunächst [mm] f^{-1}(1) [/mm] zu berechnen. Das bedeutet also ich muss die Funktion nach x auflösen. Dann habe ich die Umkehrabbildung. Das fällt mir allerdings ein bischen sehr schwer für eine solche Aufgabe. Warum??? Gibt es vielleicht einen besseren weg???
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Hallo domenigge135,
> Ja genau sowas meinte ich. Also ich probier das jetzt mal
> ganz genau zu erklären.
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> Also wir haben ja wie gesagt die FUnktion
> [mm]f(x)=1+x-\bruch{1}{2}sin(x).[/mm] Die Aufgabe lautet nun zu
> gucken ob die Funktion umkehrbar ist. Also muss ich ja
> gucken, ob die Funktion monoton verläuft. Das heit ich
> brauche die erste ABlewitung [mm]f'(x)=1+\bruch{1}{2}cos(x)>0[/mm]
> das heißt die funkltion ist monoton steigend, also
> ujmkehrbar. In der Aufgabe steht jetzt nicht, dass ich
> diese Umkehrabbildung angeben soll. Ich soll nur gucken, ob
> die Funktion umkehrbar ist. Das ist sie ja.
>
> Als nächstes soll jetzt [mm]f^{-1}(1)[/mm] und [mm](f^{-1})'(1)[/mm]
> ermittelt werden. [mm]f^{-1}[/mm]
> beschreibt ja die Umkehrabbildung. Also habe ich mir
> jetzt gedacht, dass ich vielleicht doch die Umkehrabbildung
> von [mm]f(x)=1+x-\bruch{1}{2}sin(x)[/mm] brauch um zunächst
> [mm]f^{-1}(1)[/mm] zu berechnen. Das bedeutet also ich muss die
> Funktion nach x auflösen. Dann habe ich die
> Umkehrabbildung. Das fällt mir allerdings ein bischen sehr
> schwer für eine solche Aufgabe. Warum??? Gibt es vielleicht
> einen besseren weg???
[mm]y\left(x\right):=f\left(x), \ x\left(y\right):=f^{-1}\left(y)[/mm]
[mm]f\left(x\right)=y\left(x\right)=1+x+\bruch{1}{2}*\sin\left(x\right)[/mm]
Für die Umkehrfunktion [mm]x\left(y\right)[/mm] gilt:
[mm]y=1+x\left(y\right)+\bruch{1}{2}\sin\left(x\left(y\right)\right)[/mm]
Leite das dann mit Hilfe der Kettenregel nach y ab, dann erhältst Du [mm]x'\left(y\right)[/mm].
Setze dann [mm]x\left(y\right)=x\left(1\right)=0[/mm] in die gewonnene Formel ein, und Du erhältst dann [mm]x'\left(1\right)[/mm].
>
> Mit freundlichen Grüßen domenigge135
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Wie lautet denn nun Deine Funktion? Denn für $f(x) \ = \ [mm] 1+x-\bruch{1}{2}*\sin(x)$ [/mm] lautet die Ableitung natürlich $f'(x) \ = \ 1 \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*\cos(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo domenigge,
> Ja genau sowas meinte ich. Also ich probier das jetzt mal
> ganz genau zu erklären.
>
> Also wir haben ja wie gesagt die FUnktion
> [mm]f(x)=1+x-\bruch{1}{2}sin(x).[/mm] Die Aufgabe lautet nun zu
> gucken ob die Funktion umkehrbar ist. Also muss ich ja
> gucken, ob die Funktion monoton verläuft. Das heit ich
> brauche die erste ABlewitung [mm]f'(x)=1+\bruch{1}{2}cos(x)>0[/mm]
> das heißt die funkltion ist monoton steigend, also
> ujmkehrbar. In der Aufgabe steht jetzt nicht, dass ich
> diese Umkehrabbildung angeben soll. Ich soll nur gucken, ob
> die Funktion umkehrbar ist. Das ist sie ja.
>
> Als nächstes soll jetzt [mm]f^{-1}(1)[/mm] und [mm](f^{-1})'(1)[/mm]
> ermittelt werden. [mm]f^{-1}[/mm]
> beschreibt ja die Umkehrabbildung. Also habe ich mir
> jetzt gedacht, dass ich vielleicht doch die Umkehrabbildung
> von [mm]f(x)=1+x-\bruch{1}{2}sin(x)[/mm] brauch um zunächst
> [mm]f^{-1}(1)[/mm] zu berechnen. Das bedeutet also ich muss die
> Funktion nach x auflösen. Dann habe ich die
> Umkehrabbildung. Das fällt mir allerdings ein bischen sehr
> schwer für eine solche Aufgabe. Warum??? Gibt es vielleicht
> einen besseren weg???
nein, i.a. ist das bei derartigen Funktionen sehr schwer, nach $x$ aufzulösen. Das fällt hier sehr schwer, weil dort neben dem $x$ auch das [mm] $\sin(x)$ [/mm] im Funktionsterm auftaucht.
Also vielleicht mal, wie man es aus der Schule kennt und gelernt hat:
[mm] $y=1+x+\frac{1}{2}\sin(x)$
[/mm]
liefert nach Vertauschen von $x$ mit $y$:
[mm] $x=1+y+\frac{1}{2}\sin(y)$
[/mm]
und hier kann man halt nicht schön nach $y$ auflösen... Also störend ist, dass bei der Ausgangsfunktion $f(x)$ neben dem [mm] $\sin(x)$ [/mm] rechterhand auch noch das $x$ auftaucht...
Das brauchst Du aber auch hier alles gar nicht:
Vll. ein wenig Erinnerung zur Theorie:
Wenn $f: X [mm] \to [/mm] Y$ umkehrbar ist, dann ist $f$ insbesondere bijektiv, also auch injektiv. Wenn dort nun steht, dass man zu einem [mm] $y_0 \in [/mm] Y$ dann [mm] $f^{-1}(y_0)$ [/mm] angeben soll, dann heißt das:
Finde DAS [mm] $x_0 \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_0)=y_0$. [/mm] Denn weil $f$ als bijektive Funktion surjektiv ist, existiert überhaupt ein solches, und wenn man ein solches gefunden hat, besagt die Injektivität der Funktion, dass es auch das einzige ist.
Bei Deiner Funktion ist offensichtlich $f(0)=1$, also [mm] $f^{-1}(1)=0$.
[/mm]
Das hatte Dir Angela (hier: https://matheraum.de/read?i=387401) aber bereits mitgeteilt. Gibt es da noch Unklahrheiten?
Zudem hatte Dir Loddar (hier: https://matheraum.de/read?i=387377) doch schon eine Formel gegeben, die sich so umstellen läßt:
[mm] $(f^{-1})\,'(f(x))=\frac{1}{f\,'(x)}$
[/mm]
Und wegen $f(0)=1$ brauchst Du dort nur $x=0$ einzusetzen, um [mm] $(f^{-1})\,'(1)$ [/mm] auszurechnen.
(Die rechterhand auftretende Ableitung [mm] $f\,'(x)$ [/mm] hast Du ja bereits berechnet, und damit kannst Du sicher auch [mm] $f\,'(0)$ [/mm] dort ausrechnen und einsetzen.)
P.S.:
Bitte beachte Loddars Mitteilung und teile uns nochmal mit, ob nun
[mm] $f(x)=1+x\red{+}\frac{1}{2}\sin(x)$
[/mm]
oder
[mm] $f(x)=1+x\red{-}\frac{1}{2}\sin(x)$
[/mm]
betrachtet wird.
P.P.S.:
Wenn Du Mathepowers Antwort "allgemeiner" liest, dann solltest Du auch schon eine Idee haben, wie man die Umkehrformel zumindest rechnerisch erhält (um das Beweis zu nennen, sollte man einfach noch ein paar Dinge dazuschreiben):
Für umkehrbares $f$ gilt
[mm] $y=f(x)=f(f^{-1}(y))$ [/mm] (beachte: [mm] $x=f^{-1}(y)$)
[/mm]
Linkerhand ist die Ableitung nach $y$ gerade $=1$, rechterhand erfolgt sie mit der Kettenregel:
[mm] $1=f\,'(f^{-1}(y))*(f^{-1})\,'(y)=f\,'(x)*(f^{-1})\,'(f(x))$
[/mm]
und schon steht da Loddars Formel von oben.
Gruß,
Marcel
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Die Ableitung muss lauten: $f'(x) \ = \ 1 \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*\cos(x)$ [/mm] .
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Umkehrregel