Umkehrabbildung abgeschlossen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:33 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Seien $X,Y$ metrische Räume und sei $f: [mm] X\to [/mm] Y$ eine stetige Abbildung.
Beweisen Sie:
Falls [mm] B\subset [/mm] Y abgeschlossen ist, so ist [mm] f^{-1}(B) [/mm] auch abgeschlossen. |
Hi,
ich würde gerne diese Aussage beweisen.
Das wäre mein Ansatz.
Ich habe eine Äquivalenz für eine stetige Funktion, die ich ausnutze:
$f$ ist stetig in [mm] $x\in X\Leftrightarrow$ [/mm] für jede Umgebung $V$ von $f(x)$ ist [mm] $f^{-1}(V)$ [/mm] eine Umgebung von $x$.
Ich hatte mit dem Beweis nun wie folgt angesetzt:
Da f stetig ist, ist [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] eine Umgebung von x.
Also gibt es ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] mit [mm] $B_{\epsilon}(X)\subset f^{-1}(B)$
[/mm]
Wenn ich nun die Funktion f anwende käme ich auf
[mm] $f(B_{\epsilon}(x))\subset [/mm] B$
Ich denke aber nicht, dass das zielführend ist.
Ich hatte auch daran gedacht es auf eine offene Menge zurückzuführen, also das Komplement zu betrachten.
Über einen Tipp würde ich mich freuen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Do 01.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, mach es mal mit offenen Mengen. Da kannst du schön die Umgebungen ins Spiel bringen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay.
Da [mm] $B\subset [/mm] Y$ abgeschlossen ist, ist [mm] $Y\setminus [/mm] B$ offen.
Daher existiert für alle [mm] $b\in Y\setminus [/mm] B$ ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] mit [mm] $B_{\epsilon}(Y)\subset Y\setminus [/mm] B$
Na ja, ich denke nicht, dass ich hier die Definition von offen richtig angewendet habe...
Da dies für alle [mm] $b\in Y\setminus [/mm] B$ gilt gibt es eine Umgebung U mit
[mm] $B_{\epsilon}(Y)\subset [/mm] U$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Do 01.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hmmm ok, also ich denke dass es vielleicht am einfachsten ist, wenn du folgendes beweist: $f$ stetig [mm] \gdw [/mm] Falls [mm] $O\subseteq [/mm] Y$ offen ist, so auch [mm] f^{-1}(O). [/mm] Der Beweis sollte nicht so schwierig sein, weil du schon eine Charakterisierung von Stetigkeit durch Umgebungen hast.
Nun gilt ja, dass $O [mm] \text{ offen} \gdw Y\setminus [/mm] O [mm] \text{ abgeschlossen}$ [/mm] (habt ihr das auch so definiert?). Damit kannst du dann deine eigentliche Aussage beweisen.
Du könntest dann so anfangen: [mm] $A\subseteq [/mm] Y$ abgeschlossen [mm] \Rightarrow $Y\setminus [/mm] A$ offen [mm] \Rightarrow $f^{-1}(Y\setminus [/mm] A)$ offen [mm] \Rightarrow [/mm] ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Diese Aussage haben wir schon bewiesen. Hatte oben irgendwie das Ziel aus den Augen verloren. Ich muss ja irgendwo die Umkehrfunktion herbekommen...
Ich habe auf meinem Zettel folgendes nun erstmal stehen, und ja wir haben abgeschlossen als Komplement einer offenen Menge definiert.
Da [mm] $B\subset [/mm] Y$ abgeschlossen ist, ist [mm] $Y\setminus [/mm] B$ offen, also
[mm] $Y\setminus B\subset [/mm] Y$ und [mm] $f^{-1}(Y\setminus [/mm] B)$ offen (nach dem Satz).
Daher gibt es eine Umgebung $U$ um [mm] $f^{-1}(Y\setminus [/mm] B)$ für das es ein [mm] $b\in Y\setminus [/mm] B$ ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] gibt mit [mm] $B_{\epsilon}(B)\subset [/mm] U$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:31 Do 01.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ah, mit [mm] \varepsilon-Umgebungen [/mm] zu arbeiten ist viel zu umständlich!
Es gilt doch [mm] $f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ [/mm] offen. Also ist [mm] $f^{-1}(B)$...?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ahhh!
Wenn [mm] $X\setminus f^{-1}(B)$ [/mm] offen ist, dann ist [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] abgeschlossen.
Aber leider verstehe ich nicht so ganz die Gleichheit
[mm] $f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$
[/mm]
Ich denke es läuft darauf hinaus, dass man es ein wenig auseinanderzieht im Sinne von
[mm] $f^{-1}(Y\setminus B)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(B)=X \setminus f^{-1}(B)$
[/mm]
Warum darf ich das tun?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Warum darf ich das tun?
schreibe dir mal konkret als Menge auf, was $ [mm] f^{-1}(Y\setminus [/mm] B)$ ist und dann das gleiche für [mm] $f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(B)$.
[/mm]
Was stellst du fest?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann fällt auf, dass es keine Rolle spielt. Danke.
Ist diese Beziehung allgemein gültig?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ist diese Beziehung allgemein gültig?
Für Urbilder ja. Da kannst du Mengenoperationen beliebig rausziehen.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Gut. Vielen Dank für die Hilfe dir und teufel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Do 01.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Ja, Urbildnehmen ist ziemlich gut mit viel Zeug verträglich. z.B. auch mit Vereinigungen nehmen, was auch mal nützlich sein könnte!
|
|
|
|
