Umkehrabbildung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Do 25.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich hab mal eine kurze Frage zu Umkehrabbildungen:
Eine Funktion hat ja dann eine Umkehrabbildung, wenn sie bijektiv ist.
Ist die Umkehrabbildung auch bijektiv?
Eigentlich mein ich schon, aber irgendwie bin ich mir doch unsicher.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Do 25.02.2010 | | Autor: | gfm |
Eine bijektive Abbildung f zwischen zwei Mengen A und B kann man sich so vorstellen, dass von jedem Element der Menge A ein Faden zu einem Element der Menge B läuft und dabei jedes Element von B erreicht wird und man beim Zurücklaufen von B nach A immer beim selben Ausgangselement ankommt (d.h. es gibt keine zwei Fäden, die bei verschiedenen Elementen aus A starten und beim selben Element in B ankommen). Wenn man nun die ganze Situation von B aus betrachtet, also in der Situation der Umkehrfunktion, dann findet man dieselbe Situation vor. Da vorher alle Elemente von B erreicht wurden, ist die Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] auf ganz B definiert. Und da vorher f auf ganz A definiert war, ist [mm] f^{-1} [/mm] surjektiv (erreicht also jedes Element von A).
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Fr 26.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich hab mal eine kurze Frage zu Umkehrabbildungen:
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> Eine Funktion hat ja dann eine Umkehrabbildung, wenn sie
> bijektiv ist.
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> Ist die Umkehrabbildung auch bijektiv?
>
> Eigentlich mein ich schon, aber irgendwie bin ich mir doch
> unsicher.
Warum versuchst Du nicht, das Ganze zu beweisen ?
Sei $f:X [mm] \to [/mm] Y$ bijektiv. Dann ist insbes. $f(X) = Y$
Die Umkehrabbildung von f, ich nenne sie mal g, hat also den Def.-Bereich Y, somit:
$g:Y [mm] \to [/mm] X$ .
Wir haben: (*) $g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_X$ [/mm] und $f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_Y$
[/mm]
Surjektivität von g: Sei x [mm] \in [/mm] X. Wie mußt Du wohl y [mm] \in [/mm] Y wählen, damit g(y) = x ist ?
Injektivität von g: Seien [mm] y_1, y_2 \in [/mm] Y und [mm] g(y_1)=g(y_2). [/mm] Kannst Du zeigen, dass [mm] y_1=y_2 [/mm] ist
FRED
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> LG Nadine
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