Umformung einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Mi 20.01.2016 | | Autor: | smilow |
| Aufgabe | Berechnen sie den Grenzwert der Folge
[mm] \limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^n [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Umformung für eine Grenzwertberechnung.
Meine Ausgangsfolge ist:
[mm] \limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^n [/mm]
Das wird dann laut Lösung umgeformt zu:
[mm] \limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^{\bruch{n}{ln2}ln2} [/mm]
Außerdem ist das dann:
[mm] =\limes_{m\to \infty}((1+ \bruch{1}{m})^m)^{-ln2} [/mm]
Und das ist:
[mm] =e^{-ln2} [/mm]
Wäre super wenn jemand dazu eine kurze Erklärung hätte bzw. ein paar Anregungen.
Vielen Dank im Vorraus
Gruß smilow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mi 20.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen sie den Grenzwert der Folge
> [mm]\limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^n[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu einer Umformung für eine
> Grenzwertberechnung.
>
> Meine Ausgangsfolge ist:
> [mm]\limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^n[/mm]
>
> Das wird dann laut Lösung umgeformt zu:
> [mm]\limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^{\bruch{n}{ln2}ln2}[/mm]
Hier erweiterst du den Exponenten mit [mm] \ln(2)
[/mm]
>
> Außerdem ist das dann:
>
> [mm]=\limes_{m\to \infty}((1+ \bruch{1}{m})^m)^{-ln2}[/mm]
Hier wendest du ein Potenzgesetz an.
>
> Und das ist:
>
> [mm]=e^{-ln2}[/mm]
Nun solltest du noch wissen, dass
[mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}=e
[/mm]
bzw sogar
[mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{x}{k}\right)^{k}=e^{x}
[/mm]
Diese Grenzwerte musst du dir unbedingt merken.
Mit dem letzten Grenzwert bekommst du dann sogar direkt den Grenzwert heraus, denn
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\ln(2)}{n}\right)^{n}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{-\ln(2)}{n}\right)^{n}
[/mm]
[mm] =e^{-\ln(2)}
[/mm]
>
> Wäre super wenn jemand dazu eine kurze Erklärung hätte
> bzw. ein paar Anregungen.
>
> Vielen Dank im Vorraus
>
> Gruß smilow
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Mi 20.01.2016 | | Autor: | smilow |
Stimmt Danke!
Hab den Grenzwert mit Euler nicht beachtet.. Dabei steht der sogar auf meinem Formelzettel.
Damit hat sich das dann auch schon erledigt...
Danke :)
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Hiho,
das wesentliche hat dir Marius ja bereits dargelegt.
Du kannst hier aber sogar noch weiter zusammenfassen, es gilt nämlich:
[mm] $e^{-\ln(2)} [/mm] = [mm] e^{\ln(2^{-1})} [/mm] = [mm] 2^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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