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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 23.08.2005 | | Autor: | Athena |
Ich hab die Frage nirgendwo anders gestellt.
Hallo! Ich finde nirgendwo etwas, das folgende Umformung erklärt, könnte mir vielleicht jemand damit helfen?
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{ \bruch{1}{x} * ln(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{x * ln(\bruch{1}{x})}
[/mm]
Vielen Dank! :)
Jess
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Di 23.08.2005 | | Autor: | Athena |
Entschuldigung, das muss natürlich folgendermassen aussehen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{ \bruch{1}{x} * ln(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0} e^{x * ln(\bruch{1}{x})}
[/mm]
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Hallo Athena,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich hab die Frage nirgendwo anders gestellt.
>
> Hallo! Ich finde nirgendwo etwas, das folgende Umformung
> erklärt, könnte mir vielleicht jemand damit helfen?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{ \bruch{1}{x} * ln(x)}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{x * ln(\bruch{1}{x})}[/mm]
[mm]\frac{1}
{x}\;\ln \left( x \right)\; = \;\ln \left( {x^{ - x} } \right)\; = \;\ln \left( {\left( {\frac{1}
{x}} \right)^x } \right)\; = \;x\;\ln \left( {\frac{1}
{x}} \right)[/mm]
Siehe auch Logarithmengesetze und Potenzgesetze.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Di 23.08.2005 | | Autor: | Toellner |
[mm] \ln{x^{-x}} [/mm] = -x [mm] \ln{x}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Di 23.08.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo MathePower,
ich schließe mich Toellners Meinung an:
[mm] $\frac{1} {x}\;\ln \left( x \right)\; \red{\not=} \;\ln \left( {x^{ - x} } \right)$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Di 23.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo @all ...
Man könnte aber mit der Variante [mm]\frac{1} {x}\;\ln \left( x \right)\; \; = \ \ln \wurzel[x]{x}[/mm] experimentieren, da der Grenzwert (für $x [mm] \rightarrow \infty$) [/mm] von [mm] $\wurzel[x]{x}$ [/mm] ja bekannt ist mit 1 ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Di 23.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Athena,
mir scheint die Gleichung schlicht falsch:
ln(x)/x geht gegen 0 für große x (der ln wächst langsamer als jedes Polynom), also ist der linke Grenzwehrt 1.
[mm] e^{\ln{(1/x)}} [/mm] = 1/x
und damit geht der rechte Grenzwert wegen [mm] (1/x)^{x} [/mm] = [mm] 1/x^{x} [/mm] für große x gegen 0.
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Di 23.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Athena,
[mm] x^{x} [/mm] gegen 0 ist gleichbedeutend mit [mm] (1/n)^{1/n} [/mm] für n gegen unendlich, also [mm] 1/n^{1/n}. [/mm] Die n-te Wurzel aus n geht aber gegen 1 für große n.
Gruß, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Di 23.08.2005 | | Autor: | Athena |
Vielen Dank :) Auch an Loddar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Di 23.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Loddar,
elegante Lösung!
Gruß, Ricchard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Di 23.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Richard!
... für die ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]") !
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 23.08.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Jess
> Hallo! Ich finde nirgendwo etwas, das folgende Umformung
> erklärt, könnte mir vielleicht jemand damit helfen?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{ \bruch{1}{x} * ln(x)}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} e^{x * ln(\bruch{1}{x})}[/mm]
Ich denke, man kann hier ruhig sofort die substituieren, ich mache es mal durch ein z deutlicher:
$z:=1/x$
also [mm] $\blue{x=1/z}$ [/mm] und
[mm] $\limes_{\blue{x}\rightarrow\infty} e^{ \blue{\bruch{1}{x}} * \ln(\blue{x})}$
[/mm]
= [mm] $\limes_{\blue{1/z}\rightarrow\infty} e^{ \blue{z} * \ln(\blue{1/z})}$
[/mm]
Wegen [mm] $1/z\to\infty$ $\gdw$ $z\to [/mm] 0$ (mit natürlich z>0, ist aber vorausgesetzt) kann man dann einfach schreiben:
= [mm] $\limes_{z\rightarrow0} e^{ z * \ln(1/z)}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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Grenzwertsatz nach de l'Hospital