Umformung bei Quotientenkrit. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mo 30.07.2007 | | Autor: | arena |
Hallo zusammen,
Ich hänge gerade über ner Reihe, die man mittels Quotientenkriterium auf Konvergenz überprüfen soll. Ich hab auch die Lösung dazu, kann aber folgende Umformung nicht nachvollziehen:
[mm] (n+1)^{n+1} = (n+1) * (1 + \bruch {1}{n})^n [/mm]
Hab da wohl irgendwann während meiner Schulkarierre nicht ganz aufgepasst :)
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Hallo arena!
Kannst Du mal die vollständige Aufgabenstellung posten bzw. zumindest die zu untersuchende Reihe?
Denn diese Gleichung ist allgemein betrachtet nicht richtig! Da scheint mir doch noch einiges beim betrachteten Quotientenausdruck zu fehlen ...
Es gilt lediglich: [mm] $(n+1)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)^1*(n+1)^n [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*(n+1)^n$
[/mm]
Oder soll das eher heißen: [mm] $\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^n}$ [/mm] ??
Dann gilt nämlich gemäß  Potenzgesetz: [mm] $(a*b)^n [/mm] \ = \ [mm] a^n*b^n$ [/mm] sowie [mm] $\bruch{a^n}{b^n} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{a}{b}\right)^n$ [/mm] :
[mm] $\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*(n+1)^n}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*\bruch{(n+1)^n}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*\left(\bruch{n}{n}+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mo 30.07.2007 | | Autor: | arena |
Die Ausgangsreihe lautet:
[mm] \bruch {2^n}{n^n} [/mm]
Die wird dann mittels Quotientenkriterium umgeformt zu:
[mm] \bruch {2*n^n}{(n+1)^{n+1}} [/mm]
und dann schließlch zu:
[mm] \bruch {2}{n+1} * \bruch {1}{1+ \bruch {1}{n}}^n [/mm]
wobei mir nicht klar ist wie die letzte Umformung von statten geht
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mo 30.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dazu hat roadrunner doch schon die Antwort geschrieben? Was ist och unklar?
Gruss leduart
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Hallo,
du hast erhalten:
[mm] \bruch {2\cdot{}n^n}{(n+1)^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n^{n}}{(n+1)*(n+1)^{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{n+1}*\bruch{n^{n}}{(n+1)^{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{n+1}*(\bruch{n}{n+1})^{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{n+1}*(\bruch{n*\bruch{1}{n}}{(n+1)*\bruch{1}{n}})^{n} [/mm] Erweitern mit [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{n+1}*(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^{n}
[/mm]
Jetzt mach aber noch die Grenzwertbetrachtung!
Steffi
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