Umformung Differentialgleichun < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Di 29.04.2014 | | Autor: | JennMaus |
| Aufgabe | [mm] \bruch{f'(t)}{S * f(t)} [/mm] - [mm] \bruch{-f'(t)}{S * (S - f(t))} [/mm] = k
= [mm] \bruch{1}{S}ln(f(t))-\bruch{1}{S}ln(S-f(t)) [/mm] = kt + c |
Guten Abend,
kann mir vielleicht jemand diesen Schritt der Herleitung der explizieten Formel beim logistischen Wachstum erklären.
Ich weiß, dass die Lösung der Differenialgleichung [mm] \bruch{f'(t)}{f(t)} [/mm] hier eine wichtige Rolle spielt, aber wenn doch [mm] \integral_{}^{}{\bruch{f'(t)}{f(t)} dt} [/mm] = ln(f(t)) ist, warum ist dann bspw. [mm] \bruch{f'(t)}{S * f(t)} [/mm] nicht die Ableitung, also [mm] \bruch{1}{S}ln(f(t))' [/mm] sondern [mm] \bruch{1}{S}ln(f(t))?
[/mm]
Vielen Dank schon mal :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Di 29.04.2014 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
> [mm]\bruch{f'(t)}{S * f(t)}[/mm] - [mm]\bruch{-f'(t)}{S * (S - f(t))}[/mm] = k
>
Das nächste Gleichheitszeichen streichen wir, es wird integriert.
> = [mm]\bruch{1}{S}ln(f(t))-\bruch{1}{S}ln(S-f(t))[/mm] = kt + c
> Guten Abend,
>
> kann mir vielleicht jemand diesen Schritt der Herleitung
> der explizieten Formel beim logistischen Wachstum
> erklären.
>
> Ich weiß, dass die Lösung der Differenialgleichung
> [mm]\bruch{f'(t)}{f(t)}[/mm] hier eine wichtige Rolle spielt, aber
> wenn doch [mm]\integral_{}^{}{\bruch{f'(t)}{f(t)} dt}[/mm] =
> ln(f(t)) ist, warum ist dann bspw. [mm]\bruch{f'(t)}{S * f(t)}[/mm]
> nicht die Ableitung, also [mm]\bruch{1}{S}ln(f(t))'[/mm] sondern
> [mm]\bruch{1}{S}ln(f(t))?[/mm]
>
Vielleicht reicht Dir diese Erklärung schon aus:
Ich führe eine neue Funktion ein: $g(t) = S - f(t)$.
Dann ist $g'(t) = -f'(t)$
Damit ist [mm] $\br{-f'(t)}{S - f(t)} [/mm] = [mm] \br{g'(t)}{g(t)}$
[/mm]
und [mm] $\int \br{g'(t)}{g(t)} [/mm] = [mm] \ln(g(t)) [/mm] + C = [mm] \ln(S-f(t)) [/mm] + C$
> Vielen Dank schon mal :)
Bitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Di 29.04.2014 | | Autor: | JennMaus |
Achso, vielen Dank.
Es wird also einfach auf beiden Seiten integriert, daher dann auch das kt + c ;)
Vielen Dank, auf das bin ich alleine nämlich nicht gekommen :/
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