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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:56 Sa 26.06.2010 | | Autor: | pueppiii |
| Aufgabe | Hallo ihr Lieben,
ich habe ein [mm] Z_q(\beta_q) =\frac{1}{{\Gamma\left(\frac{1}{q-1}\right)}{{\left(\frac{1}{\beta_q(q-1)}\right)}}^{\frac{1}{q-1}}}\int^{\infty}_{0} \alpha^{\frac{1}{q-1}-1}e^{-\frac{\alpha}{\beta_q(q-1)}} Z_1(\alpha) [/mm] d [mm] \alpha [/mm] gegeben mit q>1 nun habe ich das umgeformt mit der Stirling Formel:
[mm] \Gamma(\frac{1}{q-1}) \approx \sqrt{2\pi(q-1)} \left(\frac{1}{q-1}\right)^{\frac{1}{q-1}} e^{-\frac{1}{q-1}} [/mm] und erhalte dann durch Einsetzen in mein
[mm] Z_q(\beta_q) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi(q-1)} \beta^\frac{1}{q-1}} \int_0^\infty e^{\frac{1}{q-1}r(\alpha)} Z_1(\alpha) d\alpha, [/mm]
mit [mm] r(\alpha)= (2-q)\ln \alpha [/mm] - [mm] \frac{\alpha}{\beta} [/mm] + 1, dann leite ich das ab und erhalte
[mm] r'(\alpha)=\frac{2-q}{\alpha}- \frac{1}{\beta}, [/mm] Null gesetzt ergibt [mm] \alpha=(2-q) \beta. [/mm] Bis hierhin ist mir alles klar!!
Dann steht da (The derivate [mm] r'(\alpha) [/mm] vanishes at [mm] \alpha=(2-q) \beta, [/mm] in the neighboorhood of which we have
[mm] r(\alpha) \approx [/mm] (2-q) [mm] ln[(2-q)\beta] [/mm] + (q-1)- [mm] \frac{[\alpha-(2-q)\beta]^2}{2(2-q)\beta^2} [/mm] |
Dieser Schritt ist mir jedoch völlig unklar...Kann mir bitte jemand helfen und sagen wie ich auf die Approximation komme, hab auch schon ungeformt in dem ich mein [mm] \alpha [/mm] eingesetzt habe, aber kann das nich nachvollziehen, gibt es da einen Trick, weil eigentlich wird der Zähler des Bruches 0 wenn ich [mm] \alpha [/mm] einsetze...???
Danke!
Lg Püppiii
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Mi 30.06.2010 | | Autor: | pueppiii |
| Aufgabe | Hallo ihr Lieben,
ich habe ein [mm] Z_q(\beta_q) =\frac{1}{{\Gamma\left(\frac{1}{q-1}\right)}{{\left(\frac{1}{\beta_q(q-1)}\right)}}^{\frac{1}{q-1}}}\int^{\infty}_{0} \alpha^{\frac{1}{q-1}-1}e^{-\frac{\alpha}{\beta_q(q-1)}} Z_1(\alpha) [/mm] d [mm] \alpha [/mm] gegeben mit q>1 nun habe ich das umgeformt mit der Stirling Formel:
[mm] \Gamma(\frac{1}{q-1}) \approx \sqrt{2\pi(q-1)} \left(\frac{1}{q-1}\right)^{\frac{1}{q-1}} e^{-\frac{1}{q-1}} [/mm] und erhalte dann durch Einsetzen in mein
[mm] Z_q(\beta_q) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi(q-1)} \beta^\frac{1}{q-1}} \int_0^\infty e^{\frac{1}{q-1}r(\alpha)} Z_1(\alpha) d\alpha, [/mm]
mit [mm] r(\alpha)= (2-q)\ln \alpha [/mm] - [mm] \frac{\alpha}{\beta} [/mm] + 1, dann leite ich das ab und erhalte
[mm] r'(\alpha)=\frac{2-q}{\alpha}- \frac{1}{\beta}, [/mm] Null gesetzt ergibt [mm] \alpha=(2-q) \beta. [/mm] Bis hierhin ist mir alles klar!!
Dann steht da (The derivate [mm] r'(\alpha) [/mm] vanishes at [mm] \alpha=(2-q) \beta, [/mm] in the neighboorhood of which we have
[mm] r(\alpha) \approx [/mm] (2-q) [mm] ln[(2-q)\beta] [/mm] + (q-1)- [mm] \frac{[\alpha-(2-q)\beta]^2}{2(2-q)\beta^2} [/mm] |
Dieser Schritt ist mir jedoch völlig unklar...Kann mir bitte jemand helfen und sagen wie ich auf die Approximation komme, hab auch schon ungeformt in dem ich mein [mm] \alpha [/mm] eingesetzt habe, aber kann das nich nachvollziehen, gibt es da einen Trick, weil eigentlich wird der Zähler des Bruches 0 wenn ich [mm] \alpha [/mm] einsetze...???
Danke!
Lg Püppiii
Alles klar man benutzt die Taylorentwicklung bis zum 2.ten Glied und dann läuft das ...
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