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Hallo,
ich habe gerade in meinen Unterlagen einen Schritt entdeckt, den ich nicht nachvollziehen kann. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Es geht um folgendes:
[mm] \vektor{x \\ y}*(-1)^{k}=\bruch{1}{4^{k}}*\vektor{2k \\ k}
[/mm]
Es sollen keine Vektoren sein, sondern Binomialkoeffizienten.
Vielen Dank im Voraus.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mi 15.07.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo,
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> ich habe gerade in meinen Unterlagen einen Schritt
> entdeckt, den ich nicht nachvollziehen kann. Ich hoffe, ihr
> könnt mir helfen.
>
> Es geht um folgendes:
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> [mm]\vektor{x \\ y}*(-1)^{k}=\bruch{1}{4^{k}}*\vektor{2k \\ k}[/mm]
>
Was sind denn $x$ und $y$?
> Es sollen keine Vektoren sein, sondern
> Binomialkoeffizienten.
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> Vielen Dank im Voraus.
>
> Gruß
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Tut mir leid. Mir ist ein kleiner Fehler unterlaufen. Hier die richtige Gleichung:
[mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*(-1)^{k}=\bruch{1}{4^{k}}\cdot{}\vektor{2k \\ k}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Do 16.07.2015 | | Autor: | abakus |
> Tut mir leid. Mir ist ein kleiner Fehler unterlaufen. Hier
> die richtige Gleichung:
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> [mm]\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*(-1)^{k}=\bruch{1}{4^{k}}\cdot{}\vektor{2k \\ k}[/mm]
>
Laut Definition hier ![[]](/images/popup.gif) https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Definition gilt
[mm]\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}=\frac{ \frac{-1}{2}\cdot\frac{-3}{2}\cdot\frac{-5}{2}\cdots\cdot\frac{-(2k-1)}{2}}{1\cdot 2\cdots (k-1)\cdot k}[/mm].
Wenn du das mit [mm] $1\cdot 2\cdot 3\cdots (k-1)\cdot [/mm] k$ erweiterst und dabei im Zähler diese verwendeten Faktoren als
[mm] $\frac{2}{2}\cdot \frac{4}{2}\cdot \frac{6}{2}\cdots \frac{2(k-1)}{2}\cdot \frac{2k}{2}$ [/mm] schreibst (und dieser Faktoren der Reihe nach zwischen [mm] $\frac{-1}{2}$ [/mm] und [mm] $\frac{-3}{2}, [/mm] zwischen [mm] $\frac{-3}{2}$ [/mm] und [mm] $\frac{-5}{2}, [/mm] zwischen [mm] $\frac{-5}{2}$ [/mm] und [mm] $\frac{-7}{2} [/mm] usw. einsortierst, erhältst du eine Regelmäßigkeit die dir auf dem Weg zum Term auf der anderen Gleichungsseite weiterhilft.
(Vollständige Induktion geht natürlich auch.)
Gruß Abakus
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Da gibt es ein lemma
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!k!}
[/mm]
d.h. in deinem Fall:
[mm] \bruch{1}{4^{k}}\cdot{}\vektor{2k \\ k} =\bruch{1}{4^{k}}\bruch{(2k)!}{(2k-k)!k!} =\bruch{1}{4^{k}}\bruch{(2k)!}{k!k!}
[/mm]
weiter weiß ich grad auch nicht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:15 Do 16.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Da gibt es ein lemma
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> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{(n-k)!k!}[/mm]
Lemma ? Ist dieses Lemma nicht eine Definition ?
FRED
> d.h. in deinem Fall:
>
> [mm]\bruch{1}{4^{k}}\cdot{}\vektor{2k \\ k} =\bruch{1}{4^{k}}\bruch{(2k)!}{(2k-k)!k!} =\bruch{1}{4^{k}}\bruch{(2k)!}{k!k!}[/mm]
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> weiter weiß ich grad auch nicht
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