Tschebyschow < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Eine Lieferung von Ü-Eiern enthalte zu 30% Plastikfiguren. Wie viele Eier müsste eine Lieferung mind. enthalten, damit der Anteil der Plastikfiguren mit einer Sicherheit von mindestens 99% um höchsten 5% vom zu erwartenden Anteil abweicht? Verwenden Sie unter Verzicht auf Stetigkeitskorrektur die Normalverteilung und vgl. Sie Ihr Ergebnis mit der Abschätzung von Tschebyschow. |
Hallo,
was heißt denn Normalverteilung? Ich komm immer mit den unzähligen Formeln durcheinander, hat jemand einen Tip, wann ich was benutzen muss?
z.B. P( [mm] \bruch{X}{n} - p \le 0,05 \ge 0,99 [/mm] oder P(X - mü [mm] \le c \ge 0,99 [/mm]?
Und bei Tscheby weiß ich nicht weiter...
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mi 28.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Julia,
> Eine Lieferung von Ü-Eiern enthalte zu 30% Plastikfiguren.
> Wie viele Eier müsste eine Lieferung mind. enthalten, damit
> der Anteil der Plastikfiguren mit einer Sicherheit von
> mindestens 99% um höchsten 5% vom zu erwartenden Anteil
> abweicht? Verwenden Sie unter Verzicht auf
> Stetigkeitskorrektur die Normalverteilung und vgl. Sie Ihr
> Ergebnis mit der Abschätzung von Tschebyschow.
> Hallo,
> was heißt denn Normalverteilung? Ich komm immer mit den
> unzähligen Formeln durcheinander, hat jemand einen Tip,
> wann ich was benutzen muss?
> z.B. P( [mm]\bruch{X}{n} - p ) \le 0,05 \ge 0,99[/mm]
Dein Ansatz ist fast richtig !
Du hast nur die Betragsstriche vergessen , es muß heißen :
P( [mm]\left|\bruch{X}{n} - p \right| \le 0,05) \ge 0,99[/mm]
Da die Zufallsgröße binomialverteilt ist , stellt die Normalverteilung eine sehr gute Näherung dar, falls n*p*(1-p) > 9
Wegen der großen Werte für die Binomialkoeffizienten sind W´-keiten nur aufwendig zu berechnen und man begnügt sich mit der Normalverteilung.
In jedem Stochasikbuch ist (meistens im Anhang) die Normalverteilung zu den Parametern [mm] \mu [/mm] = 0 und [mm] \sigma [/mm] = 1 tabelliert.
>
> Und bei Tscheby weiß ich nicht
> weiter...
Die Ungleichung von Tschebychev gibt dir eine untere Schranke für die W-´keit des von Dir betrachteten Ereignisses, in Deinem Fall :
P( [mm]\left|\bruch{X}{n} - p \right| \le\varepsilon ) \ge 1-\frac{p(1-p) }{\varepsilon^2*n}[/mm]
Versuchs ´mal, wenn nicht kannst Du dich gerne noch mal meldem .
LG
Heiko
|
|
|
| |
|
Hallo Heiko,
danke erstmal für die Antwort! Jetzt hab ich noch ein Problem mit der Formel: Warum muss ich hier die relative Häufigkeit nehmen, also $ [mm] \frac{X}{n} [/mm] $ und nicht $ X - mü $ ? Und ich dachte , die Tschebyschow-Formel sei $ 1 - [mm] \frac{np(1-p)}{c^2} [/mm] $. Wo kommt denn das n im Nenner her? Hat das damit zu tun, dass ich die relat. Häufigkeit nehmen muss?
Ich hoffe, das ist jetzt nicht zu verwirrend, aber ich schreibe in ner Woche Klausur und weiß gar nicht, wo ich bei der Lösung ansetzen soll.
Danke schon im Voraus!
Juli
> Hallo Julia,
> > Eine Lieferung von Ü-Eiern enthalte zu 30%
> Plastikfiguren.
> > Wie viele Eier müsste eine Lieferung mind. enthalten, damit
> > der Anteil der Plastikfiguren mit einer Sicherheit von
> > mindestens 99% um höchsten 5% vom zu erwartenden Anteil
> > abweicht? Verwenden Sie unter Verzicht auf
> > Stetigkeitskorrektur die Normalverteilung und vgl. Sie Ihr
> > Ergebnis mit der Abschätzung von Tschebyschow.
> > Hallo,
> > was heißt denn Normalverteilung? Ich komm immer mit den
> > unzähligen Formeln durcheinander, hat jemand einen Tip,
> > wann ich was benutzen muss?
> > z.B. P( [mm]\bruch{X}{n} - p ) \le 0,05 \ge 0,99[/mm]
>
> Dein Ansatz ist fast richtig !
> Du hast nur die Betragsstriche vergessen , es muß heißen
> :
>
> P( [mm]\left|\bruch{X}{n} - p \right| \le 0,05) \ge 0,99[/mm]
>
> Da die Zufallsgröße binomialverteilt ist , stellt die
> Normalverteilung eine sehr gute Näherung dar, falls
> n*p*(1-p) > 9
>
> Wegen der großen Werte für die Binomialkoeffizienten sind
> W´-keiten nur aufwendig zu berechnen und man begnügt sich
> mit der Normalverteilung.
>
> In jedem Stochasikbuch ist (meistens im Anhang) die
> Normalverteilung zu den Parametern [mm]\mu[/mm] = 0 und [mm]\sigma[/mm] = 1
> tabelliert.
>
>
> >
> > Und bei Tscheby weiß ich nicht
> > weiter...
>
> Die Ungleichung von Tschebychev gibt dir eine untere
> Schranke für die W-´keit des von Dir betrachteten
> Ereignisses, in Deinem Fall :
>
> P( [mm]\left|\bruch{X}{n} - p \right| \le\varepsilon ) \ge 1-\frac{p(1-p) }{\varepsilon^2*n}[/mm]
>
> Versuchs ´mal, wenn nicht kannst Du dich gerne noch mal
> meldem .
> LG
>
> Heiko
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 28.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Julia,
>
> danke erstmal für die Antwort! Jetzt hab ich noch ein
> Problem mit der Formel: Warum muss ich hier die relative
> Häufigkeit nehmen, also [mm]\frac{X}{n}[/mm] und nicht [mm]X - mü[/mm] ? Und
> ich dachte , die Tschebyschow-Formel sei [mm]1 - \frac{np(1-p)}{c^2} [/mm].
Deine Darstellung der Tchebyschow-UGL ist äquivalent zu meiner Darstellung, falls X binomialverteilt ist
Genauer gilt :
P( [mm]\left|X -n p \right| <\varepsilon ) \ge 1-\frac{np(1-p) }{\varepsilon^2}[/mm]
So kennst du die UGL, nicht wahr ?
Wenn Du jetzt aber [mm]\left|X -n p \right| <\varepsilon*n [/mm] betrachtest ( d.h. fur [mm] \varepsilon [/mm] den Wert [mm] \varepsilon*n [/mm] einsetzt) und berücksichtigst, daß die durch n dividierte Bertragsungleichung äquivalent zur ürsprünglichen ist , erhälst Du "meine" UGL, und umgekehrt erhälst Du aus "meiner" Version Deine Version der UGL
Daher kannst Du die Version benutzen , die Dir lieber ist.
Das Wichtigste bei der Lsg. der Aufgabe ist aber, das du die Normalverteilungstabelle richtig anwendest und dann daraus das richtige n bestimmst !
Die Abschätzung durch die Tscheby soll nur verdeutlichen wie genau bzw. ungenau die Abweichung vom exakten Wert ist .
Ein Tipp noch : Meistens sind die Wahrscheinlickeiten, das die Zufallsgröße um ein Vielfaches von der Varianz (also n*p* (1-p))abweicht ,irgendwo tabelliert
Dort findet man dann meistens auch einen Wert für das Vielfache der Varianz, falls p = 0,99 ist.
Probiers mal !
MfG
Heiko
>
> Danke schon im Voraus!
> Juli
>
> > Hallo Julia,
> > > Eine Lieferung von Ü-Eiern enthalte zu 30%
> > Plastikfiguren.
> > > Wie viele Eier müsste eine Lieferung mind. enthalten, damit
> > > der Anteil der Plastikfiguren mit einer Sicherheit von
> > > mindestens 99% um höchsten 5% vom zu erwartenden Anteil
> > > abweicht? Verwenden Sie unter Verzicht auf
> > > Stetigkeitskorrektur die Normalverteilung und vgl. Sie Ihr
> > > Ergebnis mit der Abschätzung von Tschebyschow.
> > > Hallo,
> > > was heißt denn Normalverteilung? Ich komm immer mit den
> > > unzähligen Formeln durcheinander, hat jemand einen Tip,
> > > wann ich was benutzen muss?
> > > z.B. P( [mm]\bruch{X}{n} - p ) \le 0,05 \ge 0,99[/mm]
> >
> > Dein Ansatz ist fast richtig !
> > Du hast nur die Betragsstriche vergessen , es muß
> heißen
> > :
> >
> > P( [mm]\left|\bruch{X}{n} - p \right| \le 0,05) \ge 0,99[/mm]
> >
> > Da die Zufallsgröße binomialverteilt ist , stellt die
> > Normalverteilung eine sehr gute Näherung dar, falls
> > n*p*(1-p) > 9
> >
> > Wegen der großen Werte für die Binomialkoeffizienten sind
> > W´-keiten nur aufwendig zu berechnen und man begnügt sich
> > mit der Normalverteilung.
> >
> > In jedem Stochasikbuch ist (meistens im Anhang) die
> > Normalverteilung zu den Parametern [mm]\mu[/mm] = 0 und [mm]\sigma[/mm] = 1
> > tabelliert.
> >
> >
> > >
> > > Und bei Tscheby weiß ich nicht
> > > weiter...
> >
> > Die Ungleichung von Tschebychev gibt dir eine untere
> > Schranke für die W-´keit des von Dir betrachteten
> > Ereignisses, in Deinem Fall :
> >
> > P( [mm]\left|\bruch{X}{n} - p \right| \le\varepsilon ) \ge 1-\frac{p(1-p) }{\varepsilon^2*n}[/mm]
>
> >
> > Versuchs ´mal, wenn nicht kannst Du dich gerne noch mal
> > meldem .
> > LG
> >
> > Heiko
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Do 01.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Julia,
>
> Dein Ansatz ist fast richtig !
> Du hast nur die Betragsstriche vergessen , es muß heißen
> :
>
>P( [mm]\left|\bruch{X}{n} - p \right| \le 0,05) \ge 0,99[/mm]
>
sorry , da habe ich ein p vergessen, es muß natürlich heißen:
P( [mm]\left|\bruch{X}{n} - p \right| \le 0,05*p) \ge 0,99[/mm]
Ich hoffe, Du konntest die Aufgabe auch ohne diesen Hinweis lösen.
MfG
Heiko
|
|
|
|
