Tschebyschow-Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Sa 16.01.2010 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Aus Umfragen ist bekannt, dass Männer im Durchschnitt 180 cm groß sind bei einer Standardabweichung
von 5 cm. Ferner ist bekannt, dass 5% der Männer kleiner als 170 cm sind.
Berechnen Sie mit Hilfe der Tschebyschow-Ungleichung eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit,
dass ein zufällig gewählter Mann größer als 190 cm ist. |
Hallo, also es geht mir in erster Linie darum, die Tschebyschow-Ungleichung zu verstehen und danach auf Aufgaben wie die oben anzuwenden.
[mm] P(|X-E(X)|\ge\lambda)\le\bruch{V(X)}{\lambda^2}
[/mm]
Ich fang mal von links nach rechts an:
X= ? Was bedeutet dieses X
E(X)= Der Erwartungswert? Also p*n ?
[mm] \lambda= [/mm] Weiss ich auch nicht...
V(X)= Varianz von X Also np(1-p) ?
Wäre super wenn mir da eine rhelfen könnte!
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 So 17.01.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> [mm]P(|X-E(X)|\ge\lambda)\le\bruch{V(X)}{\lambda^2}[/mm]
>
> Ich fang mal von links nach rechts an:
>
> X= ? Was bedeutet dieses X
> E(X)= Der Erwartungswert? Also p*n ?
> [mm]\lambda=[/mm] Weiss ich auch nicht...
> V(X)= Varianz von X Also np(1-p) ?
Ich habe den Verdacht, dass diese Fragen nicht ernst gemeint sind (und uns nur beschäftigen sollen?).
Du hast die Ungleichung doch aus dem Skript, da steht in dem Satz über die Tschebyschow-Ungleichung doch genau die Antworten auf deine Fragen drin. Vielleicht liest du dir das mal durch und schreibst dann konkretere Fragen dazu.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Mo 18.01.2010 | | Autor: | durden88 |
Von wegen Liebe grüße, ich habs nicht verstanden und das skript bringt mich nicht weiter!deshalb würde ich gerne eine leichte Erklärung haben damit ich das versteh!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo durden88,
> Von wegen Liebe grüße, ich habs nicht verstanden und das
> skript bringt mich nicht weiter!deshalb würde ich gerne
> eine leichte Erklärung haben damit ich das versteh!
Ich zitiere Satz 4.64 aus deinem Skript:
Satz 4.64 (Tschebyschow Ungleichung) Es sei X eine diskrete Zufallsvariable mit endlicher Varianz. Dann gilt für jedes [mm] $\lambda>0$
[/mm]
[mm] $P(|X-E(X)|\ge\lambda)\le \frac{V(X)}{\lambda^2}$.
[/mm]
Was soll man jemandem, der dann fragt
X= ? Was bedeutet dieses X
dann noch schreiben was er nicht selbst hätte lesen können? Soll ich jetzt schreiben:
X ist eine diskrete Zufallsvariable
Ich vermute mal, damit wärst du auch nicht glücklich geworden.
Soll ich das Kapitel 4 Diskrete Zufallsvariablen in meinen eigenen Worten nacherzählen, in der Hoffnung, das ich genau dasjenige Verständnisproblem von den unzählig möglichen treffe, welches du mit "Zufallsvariable" haben könntest?
Meiner Meinung nach geht Studieren anders. Was aber auf jeden Fall anders funktioniert, ist dieses Forum (siehe Forenregeln, insebesondere Abschnitt zu konkreten Fragen).
Viele Grüße,
Marc
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Hey Leute,
Nun bearbeite ich diese Aufgabe und bin schon ein wenig weiter gekommen als der liebe Durden. Naja trotzdem bin mir ziemlich unsicher ob ich auch alles berücksichtigt habe, was zu berücksichtigen gewesen wäre ;)
Ungleichung von Tschebyschew:
[mm] P(|P-E(X)|\ge k)\le\bruch{V(X)}{k^2}
[/mm]
Mit unseren Werten ergibt sich nun
[mm] P(|X-180|\ge10)\le\bruch{25}{100}
[/mm]
Wenn ich diese Gleichung nun richtig verstanden habe, steht diese 25% jetzt für 25% derer die entweder größer gleich 190cm oder kleiner gleich 170 sind, soweit richtig?
Kann man dies vllt auch so schreiben [mm] P(X\le170 \cap X\ge190)=\bruch{25}{100} [/mm] ?
Weiter wissen wir P(X<170)=5%
Aber wie genau finden jetzt eine oberer Grenze dafür dass ein zufälliger Mann denn auch nur noch größer als 190cm ist?
Also wenn größer und größer gleich das selbe darstellen würden, würde ich ich wohl einfach die 5% von den 25% abziehen. Wie schreibe ich das mathematisch richtig auf?
Liebe Grüße und einen schönen Abend noch, die BeeRe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marc |
Hallo BeeRe,
> Nun bearbeite ich diese Aufgabe und bin schon ein wenig
> weiter gekommen als der liebe Durden. Naja trotzdem bin mir
> ziemlich unsicher ob ich auch alles berücksichtigt habe,
> was zu berücksichtigen gewesen wäre ;)
>
> Ungleichung von Tschebyschew:
>
> [mm]P(|P-E(X)|\ge k)\le\bruch{V(X)}{k^2}[/mm]
>
> Mit unseren Werten ergibt sich nun
>
> [mm]P(|X-180|\ge10)\le\bruch{25}{100}[/mm]
>
> Wenn ich diese Gleichung nun richtig verstanden habe, steht
> diese 25% jetzt für 25% derer die entweder größer gleich
> 190cm oder kleiner gleich 170 sind, soweit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann man dies vllt auch so schreiben [mm]P(X\le170 \cap X\ge190)=\bruch{25}{100}[/mm]
Nee, aber so ähnlich:
[mm] $P(X\le170\ \red{\vee}\ X\ge190)\red{\le}\bruch{25}{100}$
[/mm]
oder aber:
[mm] $P(\red{\{}X\le170\red{\}}\ \red{\cup}\ \red{\{}X\ge190\red{\}})\red{\le}\bruch{25}{100}$
[/mm]
> ?
> Weiter wissen wir P(X<170)=5%
>
> Aber wie genau finden jetzt eine oberer Grenze dafür dass
> ein zufälliger Mann denn auch nur noch größer als 190cm
> ist?
>
> Also wenn größer und größer gleich das selbe darstellen
> würden, würde ich ich wohl einfach die 5% von den 25%
> abziehen. Wie schreibe ich das mathematisch richtig auf?
Ja, ich denke, du hast hier eine Schwäche der Aufgabenstellung erkannt, denn hier muss [mm] $P(X<170)=P(X\le [/mm] 170)$ angenommen werden.
Für die Länge eines Menschen ist diese Annahme u.U. auch vernünftig, dann sieht man $X$ als stetig verteilt an. Allerdings habt Ihr meines Wissens in der Vorlesung (Stochastik I bei Fr. Meise) stetig verteilte Zufallsgrößen nicht behandelt.
Mich wundert es ein bisschen, dass diese Aufgabe aus dem letzten Jahr wieder auftaucht, das Problem hätte durch die Formulierung "Ferner ist bekannt, dass 5% der Männer höchstens 170 cm sind." vermieden werden können.
Naja, wir müssen also [mm] $P(X<170)=P(X\le [/mm] 170)$ annehmen. Die weitere Rechnung sieht dann folgendermaßen aus:
[mm] $P(\{X\le170\}\ \cup\ \{X\ge190\})\le\bruch{25}{100}$
[/mm]
Die Ereignisse [mm] $\{X\le170\}\$ [/mm] und [mm] $\{X\ge190\}$ [/mm] sind disjunkt, daher folgt:
[mm] $\gdw\ P(\{X\le170\})+P(\{X\ge190\})\le\bruch{25}{100}$
[/mm]
Mit [mm] $P(X\le [/mm] 170)=5/100$ folgt:
[mm] $\gdw\ P(\{X\ge190\})\le\bruch{20}{100}$
[/mm]
20/100 ist also die gesuchte obere Schranke.
Viele Grüße,
Marc
>
> Liebe Grüße und einen schönen Abend noch, die BeeRe
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