Tschebyscheffpolynom < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mo 17.03.2008 | | Autor: | YO_zhik |
| Aufgabe | Die Gleichung lautet:
[mm] \integral_{}^{}{T_n(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] \bruch{T_{n+1}(x)}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{T_{n-1}(x)}{n-1}) [/mm] + C, n [mm] \ge [/mm] 2. |
Wie kann man das zeigen? Kann man es mit [mm] T_n(x) [/mm] = cos [mm] (n\theta)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:39 Mi 19.03.2008 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi,
> Die Gleichung lautet:
> [mm]\integral_{}^{}{T_n(x) dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (
> [mm]\bruch{T_{n+1}(x)}{n+1}[/mm] - [mm]\bruch{T_{n-1}(x)}{n-1})[/mm] + C, n
> [mm]\ge[/mm] 2.
> Wie kann man das zeigen? Kann man es mit [mm]T_n(x)[/mm] = cos
> [mm](n\theta)[/mm]
wie habt ihr denn die Tscheb.-polynome eingefuehrt bzw. welche eigenschaften kennt ihr?
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 Do 20.03.2008 | | Autor: | YO_zhik |
Hallo Matthias,
danke für deine Antwort :)
wir haben
[mm] T_n(x)=cos n\theta=cos [/mm] n(arccos x)
und die rekursionsformel [mm] T_{n+1}(x)=2xT_n(x) -T_{n-1}(x)
[/mm]
Gruss
Anton
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Guten Morgen:
Also ich würde das per vollständiger Induktion über n beweisen. Den Induktionsanfang mach ich dir mal.
IA: n=2
Dann ist das Integral
[mm] \integral_{}^{}{T_{2}(x) dx}=\integral_{}^{}{2x*T_{1}(x)dx}-\integral_{}^{}{T_{0}(x) dx}=\integral_{}^{}{2x \cdot xdx}-\integral_{}^{}{1 dx}=\bruch{2}{3}x^3-x+c=\bruch{1}{2}\cdot(\bruch{4x^3-3x}{3}-\bruch{x}{1})
[/mm]
Das ist die Behauptung für n=2. Jetzt kannst du das als Induktionsvoraussetzung nehmen und dann das für
[mm] \integral_{}^{}{T_{n+1}(x) dx} [/mm] beweisen mithilfe der Rekursionsformel. Für das erste Integral einmal partielle Integration anwenden. Das zweite Integral kannst du mithilfe der Induktionsvoraussetzung lösen. So sollte das funktionieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Fr 21.03.2008 | | Autor: | YO_zhik |
Hallo blascowitz,
danke für deine Antwort!
Mit Induktion habe ich es auch versucht, bleibe aber bei
[mm] xT_{n+1}(x)-(T_n(x)(n+1))/n-1/2[T_{n+2}(x)/(n+2) [/mm] - [mm] T_n(x)/n]
[/mm]
stecken...
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