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| Aufgabe | | Ein Menge X mit trivialer Toplogie ist ein hausdorffraum , genau dann wenn X nur einen Punkt besitzt. |
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[mm] X=\{x\} [/mm] Raum hat nur 1 Punkt, dann ist jede Aussage der Form: "für je zwei verschiedene Punkte gilt..." erfüllt.
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Wenn man zwei verschiedene Punkte hat, muss ja nun eine Umgebung die leere Menge sein. Daraum ist der Durchschnitt immer leer von 2 verschiedenen Umgebungen.
Kann man das so sagen? Oder wie formuliert man das mathematisch korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 So 10.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die zweite Richtung finde ich etwas komisch. Du sagst ja, wenn es 2 Punkte gibt, dann ist der Durchschnitt ihrer Umgebungen immer leer, d.h. X ist hausdorffsch. Aber du willst ja das Gegenteil zeigen.
Ich würde es z.B. so machen: Sei X hausdorffsch. Annahme: X besitzt mehr als ein Element, sagen wir x und y. Dann wähle eine Umgebung [mm] U_x [/mm] von x und [mm] U_y [/mm] von y. Weil du auf X die triviale Topologie hast, muss ja [mm] U_x=U_y=X [/mm] gelten. Den Rest schaffst du.
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> Hi!
Hallo
> Die zweite Richtung finde ich etwas komisch. Du sagst ja,
> wenn es 2 Punkte gibt, dann ist der Durchschnitt ihrer
> Umgebungen immer leer, d.h. X ist hausdorffsch. Aber du
> willst ja das Gegenteil zeigen.
Ah verstehe, das hab ich falsch gemacht.
> Ich würde es z.B. so machen: Sei X hausdorffsch. Annahme:
> X besitzt mehr als ein Element, sagen wir x und y. Dann
> wähle eine Umgebung [mm]U_x[/mm] von x und [mm]U_y[/mm] von y. Weil du auf X
> die triviale Topologie hast, muss ja [mm]U_x=U_y=X[/mm] gelten. Den
> Rest schaffst du.
-> x=y
widerspruch zu x ist verschieden von y
-> X= [mm] \{x\}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 10.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Dass x=y folgt, müsstest du aber noch etwas begründen!
Ich habe allerdings an folgende Fortsetzung gedacht: Wegen [mm] U_x=U_y=X [/mm] gilt z.B. $y [mm] \in U_x$ [/mm] also gibt es keine Umgebung von x, die y nicht enthält. Damit wäre X nicht hausdorffsch, im Widerspruch zur Voraussetzung! Also muss die Annahme falsch gewesen sein, dass es einen weiteren Punkt in X gibt.
Wenn du x=y aber noch begründen kannst, kannst du das auch natürlich so machen!
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