Triviale NULLSUMME < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Inale |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo : )
Ich versuche gerade anhand meines Mathebuches die lineare Abhängigkeit zu verstehen. Da finde ich nun die Definition einer Nullsumme von Vektoren und unter anderem:
"Sind alle Koeffizienten gleich Null, dann heisst die Linearkombination triviale Nullsumme.
Ist mindestens ein Koeffzient ungleich Null, dann heisst die Linearkombination nichttriviale Nullsumme"
Meine Frage dazu ist jetzt (kann auch eine sehr dumme Frage sien, wenn ja tuts mir Leid;) ):
Sind alle Linearkombinationen geschlossene Vektorketten bzw. kommt Null raus?
Danke im Vorraus ;)
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Hi, Inale,
man muss bei der linearen (Un-) Abhängigkeit immer dazu sagen, um wieviele Vektoren es sich handelt!
So sind 2 Vektoren linear abhängig, wenn sie parallel zueinander (bzw. parallel zu einer Geraden) verlaufen;
3 Vektoren aber sind linear abhängig, wenn sie parallel zu einer Ebene liegen (vereinfach gesagt: Man kann sie in eine Ebene zeichnen).
Usw.
Bleiben wir aber bei den 2 Vektoren.
Also: 2 Vektoren und [mm] \vec{b} [/mm] seien linear abhängig, d.h. parallel, z.B.: [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] -1,5*\vec{a}
[/mm]
Das kann man auch so schreiben: [mm] 1,5*\vec{a}+\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
oder (nur als weiteres Beispiel): [mm] 3*\vec{a}+2*\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Man sieht: In diesem Fall gibt es unzählige "nichttriviale Nullsummen".
Aber eben nur, WEIL der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist.
Hat man umgekehrt eine Nullsumme der Art
[mm] \lambda*\vec{a}+\mu*\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
vorliegen und weiß, dass die Vektoren linear UNabhängig sind, so kann diese Nullsumme nur dann eine wahre Aussage ergeben, wenn sowohl
[mm] \lambda=0 [/mm] und auch [mm] \mu=0 [/mm] ist.
Und dies kann man sich nun analog für 3 Vektoren klar machen.
Nun zum Begriff "Linearkombination".
Diesen Begriff verwendet man nicht nur im Zusammenhang mit Nullsummen, sondern auch zum Beispiel dann, wenn man einen Vektor, sagen wir einen Vektor [mm] \vec{d} [/mm] aus dem [mm] \IR^{3}) [/mm] , durch 3 andere linear unabhängige Vektoren darstellen soll:
[mm] \vec{d} [/mm] = [mm] d_{1}*\vec{a}+d_{2}*\vec{b}+d_{3}*\vec{c}
[/mm]
Soweit alles klar?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Inale |
Dankeesehr!!: )
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