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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Ring der [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen über einem Körper [mm] $\IR$ [/mm] einfach ist, d. h. er hat nur die trivialen Ideale. |
Hallo Freunde der Mathematik,
bei dieser Aufgabe habe ich leider keine Ahnung, wie ich den Beweis angehen soll. ich weiß zwar was die trivialen Ideale (R, {0}) sind, habe aber keinen Plan wie ich vorgehen soll.
Bitte helft mir.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass der Ring der [mm]2\times 2[/mm]-Matrizen über
> einem Körper [mm]\IR[/mm] einfach ist, d. h. er hat nur die
> trivialen Ideale.
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> bei dieser Aufgabe habe ich leider keine Ahnung, wie ich
> den Beweis angehen soll. ich weiß zwar was die trivialen
> Ideale (R, {0}) sind, habe aber keinen Plan wie ich
> vorgehen soll.
>
> Bitte helft mir.
Nimm dir ein beliebiges Ideal [mm] $\mathfrak{a} \not= \{0\}$ [/mm] aus dem Ring. Zeige dann, dass [mm] $\mathfrak{a} [/mm] = R$ gilt.
Überlege dir dazu, dass es ja mindestens eine Matrix $A [mm] \in \mathfrak{a}$ [/mm] gibt mit $A [mm] \not= [/mm] 0$. Zur Vereinfachung nehmen wir mal an, dass $A = [mm] \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$.
[/mm]
Kannst du mit Hilfe der Idealeigenschaften zeigen, dass dann auch [mm] $\begin{pmatrix}0 & 1\\0 &0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\1 &0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\0 &1\end{pmatrix} \in \mathfrak{a}$ [/mm] ?
Wieso folgt dann bereits, dass [mm] $\mathfrak{a} [/mm] = R$ ist?
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Wenn du das eingesehen hast, musst du dir jetzt einen allgemeinen Beweis überlegen, bei welchem du nicht voraussetzt, dass $A = [mm] \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ [/mm] so eine Gestalt hat.
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
dein Beispiel ist ja nichts anderes als die Standardbasis der [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen, die ja ganz R erzeugt. Was mich dabei stört ist, dass das Ideal nicht speziell definiert ist, also völlig beliebig ist. Dann ist doch ohnehin schon klar das I=R ist, oder sehe ich das falsch?
Liebe Grüße
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 07.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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