Trigonometrische Gleichung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 So 28.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Es ist die Gültigkeit der Gleichung $\ [mm] \sin \bruch{\alpha}{2} [/mm] = [mm] \wurzel\bruch{1-\cos\alpha}{2} [/mm] $, $\ 0 [mm] \le \alpha \le [/mm] 1 $ zu beweisen. |
Hallo,
mein erster Lösungsansatz war der, dass ich die Gleichung durch Quadrieren, auf beiden Seiten multiplizieren etc auf die Form
$\ [mm] \sin^2 \bruch{\alpha}{2} [/mm] + [mm] \cos^2 \bruch{\alpha}{2} [/mm] = 1 $ bringe. Gelang mir aber nicht, da mein Ergebnis immer
$\ [mm] \sin^2 \bruch{\alpha}{2} [/mm] + [mm] \cos \bruch{\alpha}{2} [/mm] = 1 $ ergab.
Der andere (richtige) Lösungsweg ist mir nun bekannt, in dem man für $ 1 = [mm] \sin^2 \bruch{\alpha}{2} [/mm] + [mm] \cos^2 \bruch{\alpha}{2} [/mm] $ einsetzt. Das ist einleuchtend.
Allerdings heisst es in der Lösung weiterhin, dass für
$ [mm] \cos \alpha [/mm] = [mm] \cos^2 \bruch{\alpha}{2} [/mm] - [mm] \sin^2 \bruch{\alpha}{2} [/mm] $
eingesetzt werden darf/soll/muss.
Darauf bezieht sich nun auch meine Frage.
Ich würde gerne wissen, wie diese Beziehung zustande kommt. Weil ich das nicht so recht herleiten kann.
Würde mich über Antworten und Tipps freuen.
Vielen Dank
Grüße,
ChopSuey
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 So 28.12.2008 | | Autor: | zetamy |
>
> [mm]\cos \alpha = \cos^2 \bruch{\alpha}{2} - \sin^2 \bruch{\alpha}{2}[/mm]
>
Das folgt sofort aus dem Additionstherom für den Cosinus: [mm] $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ [/mm] mit [mm] $a=b=\frac{\alpha}{2}$
[/mm]
Gruß, zetamy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 So 28.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo zetamy,
> >
> > [mm]\cos \alpha = \cos^2 \bruch{\alpha}{2} - \sin^2 \bruch{\alpha}{2}[/mm]
>
> >
>
>
> Das folgt sofort aus dem Additionstherom für den Cosinus:
> [mm]\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)[/mm] mit
> [mm]a=b=\frac{\alpha}{2}[/mm]
>
Vielen Dank! Seh's gerade in meinem Buch:
$\ [mm] \cos [/mm] 2x = [mm] \cos^2 [/mm] x - [mm] \sin [/mm] ^2 x $
>
> Gruß, zetamy
Viele Grüße,
ChopSuey
|
|
|
|
