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Trigonometrische Funktionen: Frage zum Identitätsnachweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Mi 10.12.2008
Autor: Skalar85

Aufgabe
Beweisen Sie folgende Identitäten für alle zulässigen x, y [mm] \in \IR [/mm]

i) tan(x+y)= [mm] \bruch{tan(x)+tan(y)}{1-tan(x)*tan(y)} [/mm]

ii) [mm] sin^{2}(1/2*x)= \bruch{1-cos(x)}{2} [/mm]

wie kann ich die eine seite am geschicktesten umstellen, sodass die andere seite raus kommt?

Meine Überlegungen:

i)
tan(x+y)= [mm] \bruch{sin(x+y)}{cos(x+y)} [/mm]

sin(x+y)= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
cos(x+y)= cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
tan(x+y)= [mm] \bruch{sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)}{cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)} [/mm]

dann weiß ich nicht weiter

ii)
da [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 [/mm]
habe ich nach [mm] sin^{2}(x) [/mm] umgestellt und x durch 1/2*x ersetzt

[mm] sin^{2}(1/2*x)= 1-cos^{2}(1/2*x) [/mm]

aber wie soll ich dann weiter rechnen?







        
Bezug
Trigonometrische Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Mi 10.12.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Beweisen Sie folgende Identitäten für alle zulässigen x, y
> [mm]\in \IR[/mm]
>  
> i) tan(x+y)= [mm]\bruch{tan(x)+tan(y)}{1-tan(x)*tan(y)}[/mm]
>  
> ii) [mm]sin^{2}(1/2*x)= \bruch{1-cos(x)}{2}[/mm]
>  wie kann ich die
> eine seite am geschicktesten umstellen, sodass die andere
> seite raus kommt?
>  
> Meine Überlegungen:
>  
> i)
> tan(x+y)= [mm]\bruch{sin(x+y)}{cos(x+y)}[/mm]
>  
> sin(x+y)= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
>  cos(x+y)= cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
>  tan(x+y)=
> [mm]\bruch{sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)}{cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)}[/mm]
>  
> dann weiß ich nicht weiter

Kürze den Bruch mit $\ cos(x)*cos(y)$, d.h. teile den
Zähler und den Nenner durch diesen Term !

>
> ii)
>  da [mm]cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1[/mm]
>  habe ich nach [mm]sin^{2}(x)[/mm] umgestellt und x durch 1/2*x
> ersetzt
>  
> [mm]sin^{2}(1/2*x)= 1-cos^{2}(1/2*x)[/mm]
>  
> aber wie soll ich dann weiter rechnen?


Was du hier noch brauchst, ist die Doppelwinkelformel
für den Cosinus:

      [mm] cos(2*\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2*cos^2(\alpha)-1 [/mm]

Setze darin einmal [mm] \alpha=\bruch{x}{2} [/mm] !

Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Mi 10.12.2008
Autor: Skalar85


> > ii)
>  >  da [mm]cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1[/mm]
>  >  habe ich nach [mm]sin^{2}(x)[/mm] umgestellt und x durch 1/2*x
> > ersetzt
>  >  
> > [mm]sin^{2}(1/2*x)= 1-cos^{2}(1/2*x)[/mm]
>  >  
> > aber wie soll ich dann weiter rechnen?
>
>
> Was du hier noch brauchst, ist die Doppelwinkelformel
>  für den Cosinus:
>  
> [mm]cos(2*\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2*cos^2(\alpha)-1[/mm]
>  
> Setze darin einmal [mm]\alpha=\bruch{x}{2}[/mm] !

da weiß ich nicht genau wie du dir das denkst

cos(2*x)= [mm] cos^{2}(x)-sin^{2}(x) [/mm]              | - [mm] cos^{2}(x) [/mm]
[mm] cos(2*x)-cos^{2}(x)=-sin^{2}(x) [/mm]              | : -1
[mm] -cos(2*x)+cos^{2}(x)=sin^{2}(x) [/mm]             | x ersetzen durch x/2
[mm] -cos(2*x/2)+cos^{2}(x/2)=sin^{2}(x/2) [/mm]      ?



Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Mi 10.12.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> > > [mm]sin^{2}(1/2*x)= 1-cos^{2}(1/2*x)[/mm]

  

> > > aber wie soll ich dann weiter rechnen?


> > Was du hier noch brauchst, ist die Doppelwinkelformel
>  >  für den Cosinus:

>         [mm]cos(2*\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2*cos^2(\alpha)-1[/mm]

> > Setze darin einmal [mm]\alpha=\bruch{x}{2}[/mm] !

> da weiß ich nicht genau wie du dir das denkst

>  [mm]cos(2*x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)[/mm]

>  ........

  

Warum machst du nicht genau das, was ich vorgeschlagen habe ?

Ersetze [mm] \alpha [/mm] durch [mm] \bruch{x}{2} [/mm] !

Damit kommst du auf die Gleichung

      [mm] cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1+cos(x)}{2} [/mm]

die du dann weiter verwenden kannst für die Umformung
deiner Gleichung.


LG    al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
Trigonometrische Funktionen: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 Mi 10.12.2008
Autor: Skalar85

weil ich nicht genau weiß wo du

>         $ [mm] cos(2\cdot{}\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2\cdot{}cos^2(\alpha)-1 [/mm] $  eingesetzt hast...

hast du das bei



$ [mm] sin^{2}(1/2\cdot{}x)= 1-cos^{2}(1/2\cdot{}x) [/mm] $
für [mm] cos^{2}(1/2\cdot{}x) [/mm] eingesetzt?

sorry wenn ich auf der langen leitung stehe ich rechne schon den ganzen tag an lina und an analysis gleichzeitig und sehe nur noch zahlen und zahlen und ... :(


Bezug
                                        
Bezug
Trigonometrische Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Mi 10.12.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> weil ich nicht genau weiß wo du

        

> [mm]cos(2\cdot{}\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2\cdot{}cos^2(\alpha)-1[/mm]

>  eingesetzt hast...


Also zuerst einfach einmal hier das [mm] \alpha [/mm] durch [mm] \bruch{x}{2} [/mm] ersetzen:

      $\ cos(x)\ =\ [mm] 2*cos^2(\bruch{x}{2})-1$ [/mm]

Nach [mm] cos^2(\bruch{x}{2}) [/mm] aufgelöst:

      [mm] $\red{cos^2(\bruch{x}{2})}\ [/mm] =\ [mm] \green{\bruch{1+cos(x)}{2}}$ [/mm]

Und jetzt:

   [mm]sin^{2}(1/2\cdot{}x)\ =\ 1-\red{cos^{2}(1/2\cdot{}x)}=1-\green{\bruch{1+cos(x)}{2}}\ =\ .......[/mm]


Gruß und schönen Abend !

Jetzt solltest du dich erholen.   :-)


Al-Chw.



Bezug
                                                
Bezug
Trigonometrische Funktionen: Bedankung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Mi 10.12.2008
Autor: Skalar85

Vielen Dank ;)
Ich liebe dieses Forum ....

Bezug
                                                        
Bezug
Trigonometrische Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:55 Mi 10.12.2008
Autor: Al-Chwarizmi


             ich auch !

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