Trigonometrische Abbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mi 16.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe |
Sei r [mm] \in [/mm] R fest vorgegeben. Betrachten Sie die Abbildung [mm] S_r [/mm] : [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^2 [/mm] mit
[mm] S_r \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{x* cos r + y* sin r \\ x * sin r - y *cos r}
[/mm]
a) Zeigen Sie: Die Abbildung ist linear.
b) Interpretieren Sie die Abbildung [mm] S_r [/mm] geometrisch. Bestimmen Sie sich hierzu zunächst [mm] S_r (e_1) [/mm] und [mm] S_r(e_2), [/mm] wobei [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] die kanonischen Basisvektoren des [mm] R^2 [/mm] bezeichnen. Geben Sie dann an, für welche v [mm] \in R^2 [/mm] gilt: [mm] S_r(v) [/mm] = v und beschreiben Sie die Menge { v [mm] \in R^2 [/mm] | [mm] S_r(v) [/mm] =v} geometrisch.
c) Berechnen Sie für [mm] r_1, r_2 [/mm] die Abbildung [mm] S_{r_1} \circ S_{r_2} [/mm] mit Hilfe der Additionstheoreme für Cosinus- und Sinusfunktion und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.
Vielen Dank für eure Hilfe!!
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Moin,
also ich habe zu
a)
[mm] \phi(v1 [/mm] +v2) = [mm] \phi(v1) [/mm] + [mm] \phi(v2)
[/mm]
[mm] \phi(c*v) [/mm] = c* [mm] \phi(v)
[/mm]
mit a= cos r ; b= sin r
[mm] v_i [/mm] = [mm] \vektor{x_i \\ y_i}
[/mm]
[mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \vektor{a*x + b*y \\ b*x - a*y}
[/mm]
also
[mm] \phi(v1+v2) [/mm] = [mm] \vektor{a*(x1+x2) + b*(y1+y2) \\ b*(x1+x2) - a*(y1+y2)}
[/mm]
[mm] \phi(v1) [/mm] = [mm] \vektor{a*(x1) + b*(y1) \\ b*(x1) - a*(y1)}
[/mm]
[mm] \phi(v2) [/mm] = [mm] \vektor{a*(x2) + b*(y2) \\ b*(x2) - a*(y2)}
[/mm]
[mm] \phi(v1) [/mm] + [mm] \phi(v2) [/mm] = [mm] \vektor{a*(x1) + b*(y1) \\ b*(x1) - a*(y1)} [/mm] + [mm] \vektor{a*(x2) + b*(y2) \\ b*(x2) - a*(y2)}
[/mm]
[mm] \phi(v1) [/mm] + [mm] \phi(v2) [/mm] = [mm] \vektor{a*(x1+x2) + b*(y1+y2) \\ b*(x1+x2) - a*(y1+y2)}
[/mm]
erfüllt.
[mm] \phi(c*v) [/mm] = c* [mm] \phi(v)
[/mm]
[mm] \phi(c*v) [/mm] = [mm] \vektor{c*(a*x + b*y) \\ c* (b*x - a*y)}
[/mm]
c* [mm] \phi(v) [/mm] = c* [mm] \vektor{a*x + b*y \\ b*x - a*y}
[/mm]
c* [mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \vektor{c*(a*x + b*y) \\ c* (b*x - a*y)}
[/mm]
erfüllt.
Also handelt es sich um eine lineare Abbildung.
b) geometrisch gedeutet handelt es sich um eine Drehung um den Ursprung.
[mm] e_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] e_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm]
[mm] S_r(e_1) [/mm] = [mm] \vektor{cos r \\ sin r}
[/mm]
[mm] S_r(e_2) [/mm] = [mm] \vektor{sin r \\ - cos r}
[/mm]
Wenn ich die v bestimmen soll, für die gilt [mm] S_r(v) [/mm] = v
dann habe folgendes Gleichungssystem betrachtet (Stimmt das? / ggf. was muss ich sonst tun?)
wie hängt das Ganze dann mit [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] zusammen???
Also mein Ansatz:
a=cos r ; b=sin r
x = a*x + b*y
y = b*x - a*y
=> x = [mm] \bruch{b*y}{1-a}
[/mm]
y + ay = [mm] \bruch{b^2*y}{1-a}
[/mm]
y + ay - [mm] \bruch{b^2*y}{1-a} [/mm] = 0
y (1 +a - [mm] \bruch{b^2}{1-a}) [/mm] = 0
=> y=0 und x=0 Ist das die einzige Lösung???
c)
[mm] S_{r_1} [/mm] + [mm] S_{r_2} [/mm] = [mm] \vektor{x*cos r_1 + y*sin r_1 + x*cos r_2 + y*sin r_2 \\ x*sin r_1 -y*cos r_1 + x*sin r_2 - y*cos r_2}
[/mm]
[mm] \vektor{x*(cos r_1 + cos r_2) + y*(sin r_1 + sin r_2) \\ x*(sin r_1 + sin r_2) -y*(cos r_1 + cos r_2)}
[/mm]
Additionssätze
gefunden habe ich (für die Aufgabe!):
cos [mm] \alpha [/mm] + cos [mm] \beta [/mm] = [mm] 2*cos\bruch{\alpha + \beta}{2}*cos\bruch{\alpha - \beta}{2}
[/mm]
sin [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \beta [/mm] = [mm] 2*sin\bruch{\alpha + \beta}{2}*cos\bruch{\alpha - \beta}{2}
[/mm]
und
sin [mm] \alpha [/mm] = cos [mm] (\alpha [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
Aber wie soll mir das bei der Vereinfachung helfen???
Danke & Gruß!
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Hallo!
Da warst du ja sehr fleißig.
a) stimmt
b) stimmt auch. Überlege doch mal, welcher Vektor bei Drehung um einen gegebenen Winkel auf sich selbst abgebildet wird. Da gibts doch nur den Nullvektor.
c)
Hier hast du dich vertan. Da steht ein [mm] \circ [/mm] und kein +. Die Abbildungen werden verkettet, und das heißt, daß auf einen Vektor zunächst die eine Matrix, und dann die andere losgelassen wird. Was passiert denn da anschaulich?
Rechnerisch mußt du die beiden Matrizen multiplizieren, nicht addieren.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:30 Do 17.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
vielen dank sebastian!
zu b)
d.h. die einheitsvektoren [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] sind in der aufgabenstellung unabhängig zu sehen von den gesuchten v?
also für c) habe ich jetzt
mal abgesehen von dem problem, ob ich den ausdruck als 2x2-Matrix auffassen kann..., ich habe daher
das skalarprodukt zweier vektoren gebildet...
mit [mm] a_1 [/mm] = cos [mm] r_1 [/mm] ; [mm] a_2 [/mm] = cos [mm] r_2 [/mm] ; [mm] b_1 [/mm] = sin [mm] r_1 [/mm] ; [mm] b_2 [/mm] = sin [mm] r_2
[/mm]
[mm] S_{r_1} \circ S_{r_2} [/mm] =
[mm] \vektor{a_1x + b_1y\\ b_1x - a_1y} [/mm] * [mm] \vektor{a_2x + b_2y\\ b_2x - a_2y} [/mm] =
[mm] (a_{1}x [/mm] + [mm] b_1)*(a_{2}x [/mm] + [mm] b_{2}y) [/mm] * [mm] (b_{1}x [/mm] - [mm] a_{1}y)*(b_{2}x [/mm] - [mm] a_{2}y) [/mm] =
[mm] a_{1}a_{2}x^2 [/mm] + [mm] a_{1}b_{2}xy [/mm] + [mm] a_{2}b_{1}xy [/mm] + [mm] b_{1}b_{2}y^2 [/mm] + [mm] b_{1}b_{2}x^2 -a_{2}b_{1}xy [/mm] - [mm] a_{1}b_{2}xy [/mm] + [mm] a_{1}a_{2}y^2 [/mm] =
[mm] a_1a_2x^2 [/mm] + [mm] b_{1}b_{2}y^2 [/mm] + [mm] b_1b_2x^2 [/mm] + [mm] a_1a_2y^2 [/mm] =
[mm] x^2(a_1a_2 [/mm] + [mm] b_1b_2) [/mm] + [mm] y^2(a_1a_2 [/mm] + [mm] b_1b_2) [/mm] =
[mm] [x^2+y^2]* (a_1a_2 [/mm] + [mm] b_1b_2) [/mm] =
[mm] [x^2+y^2]* [/mm] (cos [mm] r_1 [/mm] * cos [mm] r_2 [/mm] + sin [mm] r_1 [/mm] + sin [mm] r_2) [/mm] =
Additionssätze:
sin [mm] \alpha [/mm] * sin [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(cos(\alpha [/mm] - [mm] \beta) [/mm] - [mm] cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta))
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] * cos [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(cos(\alpha [/mm] - [mm] \beta) [/mm] + [mm] cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta))
[/mm]
eingesetzt:
[mm] [x^2+y^2]* [/mm] (cos [mm] r_1 [/mm] * cos [mm] r_2 [/mm] + sin [mm] r_1 [/mm] + sin [mm] r_2) [/mm] =
[mm] [x^2+y^2]* ((\bruch{1}{2}*(cos(r_1 [/mm] - [mm] r_2) [/mm] + [mm] cos(r_1 [/mm] + [mm] r_2)) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*(cos(r_1 [/mm] - [mm] r_2) [/mm] - [mm] cos(r_1 [/mm] + [mm] r_2))) [/mm] =
[mm] [x^2+y^2]* ((\bruch{1}{2}*cos(r_1 [/mm] - [mm] r_2) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*cos(r_1 [/mm] + [mm] r_2) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*cos(r_1 [/mm] - [mm] r_2) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*cos(r_1 [/mm] + [mm] r_2)) [/mm] =
[mm] [x^2+y^2]* cos(r_1 [/mm] - [mm] r_2) [/mm] =
geometrische deutung: verlängerung der drehung.
???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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