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Trigonometrie (cos 3/alpha)^2 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Trigonometrie (cos 3/alpha)^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:30 Sa 08.11.2008
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Werte von (cos [mm] 3*\alpha)^2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]

zwischen 0° und 360°.  

Moin,

es soll 12 Lösungen geben. Hmm.

(cos [mm] 3*\alpha)^2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]

Also ziehe ich als erstes die Wurzel

(cos [mm] 3*\alpha) [/mm] = [mm] \pm \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm]


Kann ich da eine Fallunterscheidung machen?

Falls  [mm] 3*\alpha \le [/mm] 90°   dann ...
Falls  90° < [mm] 3*\alpha \le [/mm] 180°  dann ...
Falls  180° < [mm] 3*\alpha \le [/mm] 270°  dann ...
Falls  270° < [mm] 3*\alpha \le [/mm] 360°  dann ...


Aber dann komme ich doch nur auf 2*4  also insgesamt 8 verschiedene Lösungen?!


Gruß
Wolfgang







        
Bezug
Trigonometrie (cos 3/alpha)^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Sa 08.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Bestimmen Sie alle Werte von (cos [mm]3*\alpha)^2[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> zwischen 0° und 360°.
> Moin,
>
> es soll 12 Lösungen geben. Hmm.
>
> (cos [mm]3*\alpha)^2[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Also ziehe ich als erstes die Wurzel
>
> (cos [mm]3*\alpha)[/mm] = [mm]\pm \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
>
> Kann ich da eine Fallunterscheidung machen?
>  
> Falls  [mm]3*\alpha \le[/mm] 90°   dann ...
>  Falls  90° < [mm]3*\alpha \le[/mm] 180°  dann ...
>  Falls  180° < [mm]3*\alpha \le[/mm] 270°  dann ...
>  Falls  270° < [mm]3*\alpha \le[/mm] 360°  dann ...
>  
>
> Aber dann komme ich doch nur auf 2*4  also insgesamt 8
> verschiedene Lösungen?!

hallo  Wolfgang

dies gibt zunächst nicht 2*4, sondern 4 Lösungen für den
Winkel [mm] \beta=3*\alpha [/mm]
(cos ist im ersten und im vierten Quadranten positiv, in
den anderen negativ)
Um die Werte für [mm] \alpha [/mm] zu erhalten, teilst du dann die
[mm] \beta-Werte [/mm] durch 3. Dabei musst du aber alle [mm] \beta [/mm] im
Intervall  $\ [mm] 0°<\beta<1080°$ [/mm] berücksichtigen.


  

Bezug
                
Bezug
Trigonometrie (cos 3/alpha)^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:37 Sa 08.11.2008
Autor: hase-hh

ich habe raus,

a) cos [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm]

[mm] \beta [/mm] = 30°    bzw. [mm] \alpha [/mm] = 10°

cos [mm] \beta_2 [/mm] = cos (180° - [mm] \beta) [/mm]   => [mm] \beta_2 [/mm] = 150°  bzw. [mm] \alpha_2 [/mm] = 50°

cos [mm] \beta_3 [/mm] = cos (180° + [mm] \beta) [/mm]  => [mm] \beta_3 [/mm] = 210°  bzw. [mm] \alpha_3 [/mm] = 70°

cos [mm] \beta_4 [/mm] = cos (360° - [mm] \beta) [/mm] => [mm] \beta_4 [/mm] = 330°  bzw. [mm] \alpha_4 [/mm] = 110°

  
b) cos [mm] \beta [/mm] = - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm]

[mm] \beta_2 [/mm] = 150°    bzw. [mm] \alpha_2 [/mm] = 50°

usw. führt also auf dieselben Werte.


Nun frage ich mich, wie man hier auf 12 Lösungen kommen soll?!

Ich habe ein Additionstheorem entdeckt.

cos(3x) = [mm] 4cos^3 [/mm] x - 3cos x

Kommt man damit weiter?

Gruß
Wolfgang


Bezug
                        
Bezug
Trigonometrie (cos 3/alpha)^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Sa 08.11.2008
Autor: Adamantin


> ich habe raus,
>  
> a) cos [mm]\beta[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>  
> [mm]\beta[/mm] = 30°    bzw. [mm]\alpha[/mm] = 10°
>  
> cos [mm]\beta_2[/mm] = cos (180° - [mm]\beta)[/mm]   => [mm]\beta_2[/mm] = 150°  bzw.
> [mm]\alpha_2[/mm] = 50°
>  
> cos [mm]\beta_3[/mm] = cos (180° + [mm]\beta)[/mm]  => [mm]\beta_3[/mm] = 210°  bzw.
> [mm]\alpha_3[/mm] = 70°
>  
> cos [mm]\beta_4[/mm] = cos (360° - [mm]\beta)[/mm] => [mm]\beta_4[/mm] = 330°  bzw.
> [mm]\alpha_4[/mm] = 110°
>  

[ok] Soweit korrekt, der Clou besteht darin, was Al-Chwarizmi noch gesagt hat. Wenn du [mm] 3\alpha [/mm] hast, anstatt nur [mm] \alpha, [/mm] und dann durch drei teilst, erweitert sich der Bereich deines Winkels, den du untersuchen musst. Der gesuchte Winkel [mm] \alpha [/mm] muss sozusagen zwischen 0° und 360° liegen, der Gesamtwinkel [mm] \beta [/mm] jedoch kann zwischen 0° und 1080° liegen!

Du nimmst deinen Winkel [mm] \alpha [/mm] ja immer noch mal drei, aber die Bedingung für [mm] \alpha [/mm] zwischen 0° und 360° bezieht sich ja nur auf [mm] \alpha! [/mm] Das heißt, wenn wir annehmen, auch [mm] \beta=30°+360°=390° [/mm] sei eine Lösung, ist das korrekt, denn wenn du das durch 3 teilst, erhälst du für [mm] \alpha [/mm] den Wert 130°

Oder du machst es so, wenn zu [mm] \beta [/mm] 360° dazukommen, müssen zu allen [mm] \alpha-Werten [/mm] 120° dazuaddiert werden, also für den ersten Wert 130°, für den zweiten 170° etc. So kommst du auf die gesuchten Werte.


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