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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 So 04.07.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Zwei Billardkugeln A und B haben die Entfernung a=0,98m bzw. b =1,57 m von einer Bande. Ihre Entfernung voneinander beträgt d=1,09m.
Unter welchem Winkel [mm] \varepsilon [/mm] muss die Kugel A gegen die Bande gestoßen werden, damit sie nach einmaliger Reflexion an der Band zentral auf Kugel B trifft? |
Hier eine Zeichnung, in der ich weiter Seiten und Winkel bezeichnet habe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich kann die Aufgabe nicht lösen.
Mein Ansatz unter Verwendung des Sinussatzes ist so:
1. sin [mm] \varepsilon [/mm] = b / x
2. sin [mm] \varepsilon [/mm] = a / y
3. sin [mm] \alpha [/mm] / sin [mm] \beta [/mm] = x / y
4. sin [mm] \gamma [/mm] / sin [mm] \alpha [/mm] = d / x
5. sin [mm] \gamma [/mm] / sin [mm] \beta [/mm] = d / y
6. [mm] \gamma [/mm] = 180 - 2 * [mm] \varepsilon [/mm] (editiert)
Dies ist also ein Gleichungssystem mit 6 Unbekannten:
[mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] , [mm] \gamma [/mm] , [mm] \varepsilon [/mm] , x und y
Wie kann ich die Gleichungen umformen, damit ich auf eine Lösung komme?
Oder gibt es vielleicht einen viel einfacheren Ansatz?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
EDIT:
Also ich komme immer noch nicht weiter. Beim Lösen der Gleichungen komme ich immer wieder nur auf Formen, die entweder z.B. y = y lauten, oder die es vorher schon gab. Ich schaffe es nicht die Unbekannten durch Umformen und Einsetzen zu eliminieren. Wie muss ich vorgehen?
Oder ist vielleicht der Ansatz falsch? Wenn ein oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, dann würde das ja zu keiner eindeutigen Lösung führen oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo BarneyS,
sei doch so nett und eröffne einen Beitrag mit einem Gruß, oder beende ihn mit einem, oder auch beides.
Dein Ansatz ist bis auf einen Tippfehler in der letzten Gleichung völlig ok:
> Mein Ansatz unter Verwendung des Sinussatzes ist so:
> 1. sin [mm]\varepsilon[/mm] = b / x
> 2. sin [mm]\varepsilon[/mm] = a / y
> 3. sin [mm]\alpha[/mm] / sin [mm]\beta[/mm] = x / y
> 4. sin [mm]\gamma[/mm] / sin [mm]\alpha[/mm] = d / x
> 5. sin [mm]\gamma[/mm] / sin [mm]\beta[/mm] = d / y
> 6. [mm]\gamma[/mm] = 180 - 2*[mm]\blue{\varepsilon}[/mm]
So wärs richtig.
> Dies ist also ein Gleichungssystem mit 6 Unbekannten:
> [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma[/mm] , [mm]\varepsilon[/mm] , x und y
Ja, genau.
> Wie kann ich die Gleichungen umformen, damit ich auf eine
> Lösung komme?
Nimm noch eine Gleichung hinzu; damit ist es einfacher:
[mm] \bruch{x}{b}=\bruch{y}{a} [/mm] bzw. [mm] \bruch{x}{y}=\bruch{b}{a}
[/mm]
Dies folgt aus der Tatsache, dass die beiden rechtwinkligen Dreiecke einander ja ähnlich sind (wenn auch gespiegelt).
> Oder gibt es vielleicht einen viel einfacheren Ansatz?
Vielleicht, aber ich sehe auch gerade keinen.
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Ansonsten ist es halt ein bisschen Rechenarbeit.
Versuchs doch mal!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mo 05.07.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | [mm] \bruch{x}{b} [/mm] = [mm] \bruch{y}{a}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{y} [/mm] = [mm] \bruch{b}{a}
[/mm]
x = [mm] \bruch{b*y}{a}
[/mm]
[mm] \bruch{b*y}{a*b} [/mm] = [mm] \bruch{y}{a}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y = y |
Ich glaube mein derzeitiges Problem liegt eher beim Lösen des Gleichungssystems. Wie gehe ich da am besten vor?
Wenn ich z.b. oben in einer der Gleichungen nach x auflöse und dann in die andere Gleichung einsetze, bekomme ich y = y heraus.
So ging es mir vorher schon beim herumrechnen.
Ok, das ist hier ja auch klar, weil das eine nur eine Umformung des anderen ist. Allerdings ist mir das voher mit den anderen Gleichungen auch schon so ergangen. Aber nach einer Unbekannten auflösen und in eine andere Gleichung einsetzen ist doch der richtige Weg, oder?
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Hallo Barney,
meine beiden Gleichungen waren äquivalent, will heißen: die eine geht aus der anderen hervor. Es macht darum keinen Sinn, etwas aus der einen zu folgern und in die andere einzusetzen.
Vielleicht ist das auch das Problem beim Lösen des Gleichungssystems - Du weißt womöglich nicht, wo Du eigentlich hin willst.
Platt gesagt ist doch das Ziel, nach und nach die Variablen zu eliminieren, bis nur noch eine übrig bleibt, wie man das bei linearen Gleichungssystemen auch tut. Hier hast Du allerdings trigonometrische Funktionen, und du wirst auch quadratische Terme bekommen. Das macht es ein bisschen ungemütlich, aber deswegen noch nicht unlösbar.
Hauptsache, Du behältst im Auge, dass a, b und d gegeben sind, alles andere aber nicht.
Übrigens scheint mir ein anderer Ansatz auf dem Umkreis des gesuchten Dreiecks zu basieren. Ob das allerdings wirklich weniger Rechenarbeit bedeutet, sehe ich so auch nicht und habe gerade wenig Lust, es selbst zu probieren.
Ich lasse Deine Frage mal "halboffen", vielleicht hat ja jemand eine bessere Idee.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mo 05.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Reflexionsaufgaben löst man am einachsten mit "Spiegeln"
spiegle z. Bsp A ander oberen Wand, ergibt A' verbinde B mit A' und du hast den Auftreffpkt P an der Wand (warum?) dann nur noch A mit P verbinden.
So und das ist dann leicht nachzurechnen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mo 05.07.2010 | | Autor: | BarneyS |
Hallo leduart,
danke, das ist echt easy zu rechnen so :)
Dass ich da nicht selber drauf gekommen bin :P ?!
Lösung ist ca. 70,23°
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