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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Lapuca |
| Aufgabe | berechne die seite c im (NICHT rechtwinkligem) Dreieck ABC mit a = 2,4cm b= 5,6cm und [mm] \beta [/mm] = 83,62°
mit der aufgabe komme ich irgendwie nicht so ganz klar. mein mathelehrer meinte wir sollen da die pq formel anwenden, aber irgendwie ... die kathetensätze sind ja nur [mm] a^{2} [/mm] = c * p und [mm] b^{2} [/mm] = c * q
und damit kann ich ja schlecht c ausrechnen, oder?
ich hab es jetzt erstmal mit dem cosinussatz ausgerechnet, also
[mm] c^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + 2ab * cos [mm] \beta
[/mm]
[mm] c^{2} [/mm] = [mm] 2,4^{2} [/mm] + [mm] 5,6^{2}+ [/mm] 2*2,4*5,6 - cos83,62°
[mm] c^{2} [/mm] = 63,88
=> c = 7,99
meine erste frage wäre jetzt ob das überhaupt so stimmt,
und zweitens wie man das auch mit der pq formel ausrechnen kann.
vielen dank schon mal im vorraus!!
lg Lapuca
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> berechne die seite c im (NICHT rechtwinkligem) Dreieck ABC
> mit a = 2,4cm b= 5,6cm und [mm]\beta[/mm] = 83,62°
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> mit der aufgabe komme ich irgendwie nicht so ganz klar.
> mein mathelehrer meinte wir sollen da die pq formel
> anwenden, aber irgendwie ... die kathetensätze sind ja nur
> [mm]a^{2}[/mm] = c * p und [mm]b^{2}[/mm] = c * q
> und damit kann ich ja schlecht c ausrechnen, oder?
>
> ich hab es jetzt erstmal mit dem cosinussatz ausgerechnet,
> also
>
> [mm]c^{2}[/mm] = [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm] [mm] \red{+} [/mm] 2ab * cos [mm]\red{\beta}[/mm]
Dies geht so nicht. Der Winkel beim [mm] $\cos$ [/mm] muss jeweils der Seite, deren quadrierte Länge auf der linken Seite des Cosinussatzes steht, gegenüberliegen. Richtig wäre allenfalls
[mm]c^2=a^2+b^2\red{-}2ab\cos(\red{\gamma})[/mm]
Aber dies nützt Dir vorerst nichts, weil sowohl $c$ als auch [mm] $\gamma$ [/mm] unbekannt sind.
Du kannst aber in einem ersten Schritt [mm] $\alpha$ [/mm] ausrechnen, und zwar mit Hilfe des Sinussatzes:
[mm]\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}\Rightarrow \sin(\alpha)=\frac{a}{b}\sin(\beta)[/mm]
Wir haben hier Glück, dass $b$ die längere der gegebenen Seiten ist, deshalb ist [mm] $\alpha$ [/mm] eindeutig bestimmt (und gerade der Winkel, den Dir die [mm] $\sin^{-1}$-Funktion [/mm] Deines Taschenrechners, angewandt auf [mm] $\frac{a}{b}\sin(\beta)$, [/mm] liefert).
Hast Du [mm] $\alpha$ [/mm] bestimmt, kannst Du $c$ entweder mit der obigen, von mir richtiggestellten Version des Cosinussatzes [mm] ($\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$) [/mm] berechnen, oder Du kannst auch den Sinussatz nochmals verwenden, denn es ist
[mm]\frac{c}{\sin(\gamma)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\Rightarrow c=\frac{\sin(\gamma)}{\sin(\beta)}b[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 11.06.2008 | | Autor: | abakus |
> berechne die seite c im (NICHT rechtwinkligem) Dreieck ABC
> mit a = 2,4cm b= 5,6cm und [mm]\beta[/mm] = 83,62°
>
> mit der aufgabe komme ich irgendwie nicht so ganz klar.
> mein mathelehrer meinte wir sollen da die pq formel
> anwenden, aber irgendwie ... die kathetensätze sind ja nur
> [mm]a^{2}[/mm] = c * p und [mm]b^{2}[/mm] = c * q
> und damit kann ich ja schlecht c ausrechnen, oder?
>
> ich hab es jetzt erstmal mit dem cosinussatz ausgerechnet,
> also
>
> [mm]c^{2}[/mm] = [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm] + 2ab * cos [mm]\beta[/mm]
> [mm]c^{2}[/mm] = [mm]2,4^{2}[/mm] + [mm]5,6^{2}+[/mm] 2*2,4*5,6 - cos83,62°
> [mm]c^{2}[/mm] = 63,88
> => c = 7,99
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> meine erste frage wäre jetzt ob das überhaupt so stimmt,
> und zweitens wie man das auch mit der pq formel ausrechnen
> kann.
Hallo,
es ist zwar ein ungewöhnlicher Weg, aber es funktioniert auch mit der pq-Formel.
Da nur [mm] \beta [/mm] als Winkel gegeben ist, muss der Ansatz
[mm] b^2=a^2+c^2-2ac*cos \beta [/mm] lauten.
Da b, a und [mm] \beta [/mm] bekannt sind ist c die Unbekannte ist, handelt es sich um eine quadratische Gleichung mit der Variablen c. Die Umstellung auf Normalform liefert
[mm] c^2-2a\cos\beta [/mm] *c [mm] +a^2-b^2 [/mm] =0
(also mit [mm] p=-2a\cos\beta [/mm] und [mm] q=a^2-b^2).
[/mm]
Gruß Abakus
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> vielen dank schon mal im vorraus!!
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> lg Lapuca
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