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Hallo zusammen!
Mein Neffe kam heute mit einer Mathe-Aufgabe zum Thema Trigonometrie zu mir. Leider konnte ich ihm nicht weiterhelfen...
Vielleicht weiss hier jemand den Ansatz!?
In einem rechtwinkligen Dreieck (gamma=90°) mit dem Winkel alpha=65° sind keinerlei Längenangaben gegeben! Die einzige weitere Information: die Höhe unterteilt die Hypotenusenabschnitte in p und q. Es gilt: p=q+10
Frage: Wie lang sind die Hypotenusenabschnitte und die Höhe des Dreiecks?
Sinus- und Kosinussatz hatte mein Neffe noch nicht im Unterricht, wobei ich auch hier nicht wüsste, wie der Lösungsansatz wäre. Ich habe alles probiert: Pythagoras, Höhensatz, Kathedensatz etc. Gleichungssysteme über trigonometrische Beziehungen aufgestellt. Aber ich komme auf kein wirkliches Ergebnis!
Danke für eure Hilfe!
Viele Grüße,
blueskies
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Sa 28.04.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Erstmal hier eine Skizze, die ist natürlich nicht genau mit den Winkeln, veranschaulicht aber wies geht.Da du zwei Winkel kennst, kannst du den dritten berechnen!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit Pythagoras gilt:
[mm] a^2+b^2=(p+q)^2
[/mm]
Über die Winkel kommt man dann auf
[mm] sin(65°)=\bruch{p}{a}
[/mm]
[mm] sin(25°)=\bruch{q}{b}
[/mm]
Außerdem ist gegeben p=q+10
Setzt du das entsprechend ein, hast du am Ende nur noch eine Variable (p oder q), nach welche du dann umstellen kannst.
Gruß ONeill
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Sa 28.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ja... oder du nimmst folgende formeln:
[ich habe für seite c = q+p vorausgesetzt]
1. gegeben: p=q+10
2. p*q = [mm] h^2 [/mm] Höhensatz
3. mit der höhe h als kathete kannst du zwei rechtwinklige dreiecke betrachten, daraus
[mm] b^2 [/mm] = [mm] q^2 [/mm] + [mm] h^2 [/mm]
[mm] b^2 [/mm] = [mm] q^2 [/mm] + p*q
[mm] b^2 [/mm] = [mm] q^2 [/mm] + (q+10)*q
bzw.
[mm] a^2 [/mm] = [mm] p^2 [/mm] + [mm] h^2
[/mm]
[mm] a^2 [/mm] = [mm] (q+10)^2 [/mm] + p*q
[mm] a^2 [/mm] = [mm] q^2 [/mm] + 20q + 100 + (q+10)*q
usw.
du erhältst dann für die seiten z.b. jeweils in abhängigkeit von q die seitenlängen a, b, c.
gruß
wolfgang
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Hallo,
danke erstmal für eure schnellen Anworten bzw. Lösungsansätze! Die hab´ ich auch alle so gehabt...
Ich habe auch die Gleichungen soweit aufgestellt und -gelöst, dass nur noch "q" als einzige Variable enthalten ist. Das Problem dabei ist aber, dass beim Auflösen dann kein fester Wert rauskommt. Ich komme auf keine Lösung!
Gruß, blueskies
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Sa 28.04.2007 | | Autor: | ONeill |
> Das Problem dabei ist aber, dass beim Auflösen dann
> kein fester Wert rauskommt. Ich komme auf keine Lösung!
Mhh wieso das denn? Müsstest ein Ergebnis bekommen (eigentlich ja sogar zwei, weils eine quadratische Funktion ist).
Habs mal durchgerechnet und da komm ich auf etwa 0,57 für q. Habs mal gezeichnet so wirklich zu passen scheint das jedoch nicht...irgendwo ein Rechenfehler drin, aber wie gesagt prinzipiell müsstest du ein Ergebnis bekommen.
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Hallo,
folgender Vorschlag, wesentlich kürzer:
1.) Höhensatz: [mm] p*q=h^{2}
[/mm]
2.) gegeben: p=q+10, ergibt [mm] (q+10)*q=h^{2}
[/mm]
3.) tan [mm] (65^{0})=\bruch{h}{q}, [/mm] ergibt h=tan [mm] (65^{0})*q
[/mm]
aus 2. und 3. erhälst du
(q+10)*q=(tan [mm] (65^{0})*q)^{2}
[/mm]
[mm] q^{2}+10q=4,6q^{2}
[/mm]
[mm] 0=3,6q^{2}-10q
[/mm]
q=2,8
p=12,8
h=6
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Sa 28.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
ah, super!! danke steffi! dannn kann ich auch ruhig schlafen. konnte mir nicht vorstellen, dass man eine funktion dritten grades lösen muss (ist ja schließlich eine aufgabe für die mittelstufe); auch war mir die zahl 0,57 etwas suspekt.
nun ist ja alles klar!!
schönen sonntag allen!
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 So 29.04.2007 | | Autor: | blueskies |
Hallo Steffi!
Vielen Dank nochmal, so komme ich auch auf ein Ergebnis! 
Gruß,
blueskies
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