Trigonometr. Kreis < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Do 16.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Ich soll ein trigonmetriche Scheibe anfertigen.
Habe ich gemacht.
x-Achse ist cos x
y-Achse ist sin x
Und jetzt soll ich begründen wie das Ding funktioniert.
Puhhhh |
Was ich entdecke:
Bei cos 45 ist auch sin 45
Besser: Der y-Achsenabschnitt sin 45 ist die GK
Die dazugehörige AK ist cos 45
Ich schließe daraus, dass
tan 45 = sin 45 / cos 45, also
tan 45 = 1
Und diese 1 ist die Steigung einer lin. Fkt. mit dem STeigungsfaktor 1.
Diese Steigungslinie ist mein Radius = f(x)= x
Sehr sehr sehr interessant!
Aber weiter:
Ich kann beliebige Rechtecke erzeugen (liegende u. stehende)
Aber was soll mir das sagen?
Das jeder tan mit dem Verhältnis sin x° : cos x° dargestellt werden kann.
Ist das alles?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Do 16.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
Vielleicht könnte ich zu der Funktionweise dieser trigonometr. Scheibe mehr sagen, wenn ich verstehen würde, wieso man die
x-Achse mit cos eines Winkels bezeichnet u.
y-Achse mit sin eines Winkels bezeichnet.
Der cos ist doch eine Fkt., eine Kurve; wieso wird dies zur Bezeichnung einer Achse? Das übersteigt meine Vorstellungen.
In dem Buch ist es der Einheitskreis mit der entsprechenden Skalierung bis 1 auf beiden Achsen. Aber gleichzeitig
steht am Pfleilende der x-Achse cos einer Winkels dran u.
an der Pfleilspitze der y-Achse steht sin eines Winkels.
Wie ist das gemeint?
Im Buch steht noch: Die Winkel-Fkt. werden auch mit dem Einheitskreis definiert. Mit dieser gebastelten trigonometr. Scheibe kann ich diese Definition auch finden.
Die Def. am Einh.kreis ist aber bestimmt das mit dem Bogenmaß.
Vielleicht gibt es ja über nacht noch Hilfe. Wäre schön.
Vorab schon mal DANKE
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Do 16.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Könntest Du Dir das hier anschauen, und mir dann sagen, was Du nicht verstehst?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und nach Möglichkeit bitte systematisch. Deine Posts sind etwas...wirr, deswegen antwortet wahrscheinlich auch keiner. =)
ciao
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: svg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
a) das mit den Winkel-Fkt. ist umfassend u. es gibt sehr sehr viele Zus.hänge, in die die Dinger eingebunden sind. Kapiert habe ich die noch lange nicht. Wenn ich das aber alles begriffen habe, dann könnte ich die Fragen, die ich jetzt habe sicher auch besser formulieren.
und
b) ich bin auch tütelig (kostet leider sehr viel Zeit.
Sieh es mir einfach nach. Vielleicht geht das ja, wenn du das als Behinderung auffässt.
Es ist jedenfalls keine Absicht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Stefan,
gestern konnte ich nicht (PC kaputt).
DANKE f. das nachträgliche Bild!
Hier die Antw. auf deine Frage, was ich an dem Bild nicht verstehe:
Ich sehe, dass der tan das Verhältnis von sin eines Winkels geteilt durch cos eines Winkels ist. Diese Ahnung hatte ich schon vorher u. deine Zeichnung bestätigt dies. Und ich sehe, dass das gelbe Dreieck (von dem roten überlagert), dem roten Dreieck ähnlich ist.
Was ich nicht verstehe:
Warum ist die Strecke von A nach B der tan x?
Oh, man, erledigt; ich habs:
tan x = GK : AK
Da AK = r =1, dann
tan x = GK
Und da ist die Antw.
Achsenskalierung von 0 bis 1, d.h. wenn man den Quotient (GK/AK) ausrechnet, ergibt das (zumind. bei sin u. cos) immer nur einen Wert zwischen 0 u. 1.
Wage trotzdem nicht zu behaupten, dass ich alles sehe u. erkenne, was deine Zeichnung hergibt.
FRAGE:
Da steckt doch noch mehr drin oder?
mfg
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:25 Fr 17.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die x-Achse "ist" nicht cos, sondern du kannst auf der x-Achse zu jedem Winkel, den der Zeiger einnimmt, senkrecht unter der spitze den cos des Winkels ablesen, waagerecht von der spitze, auf der y-achse den sin des Winkels. Ich weiss nicht genau, wie du die Scheibe hergestellt hast? sind an deinem Kreis Winkelangaben?
wenn du dir nen Licht vorstellst, das auf den Zeiger faellt und in x Richtung parallel ist, dann waere der Schatten bzw. die Projektion des Zeigers auf der y -Achse jeweils der sin, die projektion auf die x-Achs der cos des eingestellten Winkels. Um sin oder cos zu bestimmen (wenigstens ungefaehr) brauchst du jetzt also keinen TR sondern nur die Scheibe.
(Ich hoff die sieht so aus, wie ich denke)
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
Scheibe ist nur ein Viertel-Kreis (1. Quadrant) u. besteht aus 2 Teilen, die im Mittelpunkt (0/0) drehbar befestigt sind.
Unteres Teil: Millitmeterpap. - Auf dem Kreisbogen (r=1) habe ich die Winkelskalierungen 0-90 Grad übertragen.
Oberes Teil: transparentes Plastik, mit Strich, der ungefähr mittig v. (0;0) bis Kreisrand geht = r =1
>Die x-Achse "ist" nicht cos, sondern du kannst auf der x-Achse zu jedem Winkel, den der Zeiger >einnimmt, senkrecht unter der spitze den cos des Winkels ablesen, waagerecht von der spitze, auf der >y-achse den sin des Winkels.
Mit dieser Erklärung verstehe ich endlich die Beschriftung an der x-Achse mit cos eines Winkels (entsprechend y-Achse mit sin)
Ja, genau so funktionierts u. du hast recht: Man kommt damit ohne TR an Winkelgröße oder eine Seitenlänge ran. Jedenfalls passt es so immer, wenn ich es mit div. Winkeln ausprobiere. Wenn anderer Winkel, dann anderers Verhältnis von GK:AK.
Die Aufg. aus dem Buch (Gym 10.Kl.) lautet:
Zitat:
a) Begründe die Funktionsweise dieser trigonometr. Scheibe.
b) Lies einige sin- und cos-Werte ab u. vgl. mit dem TR. In welchen Winkelbereichen kannst du genauer, in welchen nur ungenau ablesen.
a) Hätten wir doch jetzt oder? Reicht das oder muss ich es noch begründen? Ist tan ° = GK / AK die Begründung?
b) Nähern sich die Winkel 90° (Rechteck wird immer mehr zum Strich) wird das Ablesen schwierig. Also 85° geht noch, aber bei 89° u. mehr 89,999° ein Brei; es ist nix mehr zu erkennen oder abzulesen. Gleiches, wenn die Winkel sich immer mehr 0° nähern.
Mist, ich finde DIE Notizen dazu nicht mehr, aber ich meine mich zu erinnern, dass ein Vgl. mit den Werten des TR mich vermuten ließ, dass es sich immer mehr "nähert" u. weil es unendlich viele Zahlen (ohne Ende) noch gibt, die zwischen 89,9999999 u. 90 liegen.
Ist es das, was die im Buch wollen?
Für hilfreiche Unterstützg. vielen DANK
mfg
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:45 So 19.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Giraffe
Ja du hast es kapiert. Begruenden musst du noch mit Radius 1 und sin=Gegenkathete zu Ank. usw.
Den tan liest man dabei eigentlich nie ab, steht ja auch nicht in der Aufgabe.
Ich denk dass man schon ab [mm] 80^o [/mm] nicht mehr so genau ablesen kann wie bei kleinen Winkeln und am besten um die [mm] 45^o [/mm] rum.
Warum du Seitenlaenge sagst weiss ich nicht, du kannst den sin und cos zu nem Winkel ablesen und zu nem cos oder sin rueckwaerts den Winkel.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 So 19.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
> Hallo Giraffe
Tach auch!
> Ja du hast es kapiert. Begründen musst du noch mit Radius
> 1 und sin=Gegenkathete zu Ank. usw.
sin ° = GK : AK
?
Hast du dich vertippt?
> Den tan liest man dabei eigentlich nie ab, steht ja auch
> nicht in der Aufgabe.
Ja, sehr gut, dann schiebe ich ihn in einen Nebensatz.
> Warum du Seitenlänge sagst weiss ich nicht,
WEil ich in meinem ganzen Leben bislang immer Koordinaten mit normalen Zahlen angegeben habe, nicht aber die LÄnge einer SEite mit z.B. sin45°, ausgedrückt habe. Das ist abstrakt u. neu für mich; absolut gewöhnungsbedürftig.
>du kannst den
> sin und cos zu nem Winkel ablesen und zu nem cos oder sin
> rueckwaerts den Winkel.
Ja, das ist wohl das Wesentliche u. oh, ja, rückwärts auch noch, bzw. dass es in beide Richtungen geht hätte ich vergessen! DANKE
Ein einziges Probl. gibt es allerdings noch:
Ich bin nicht zufrieden, WIE ich r=1 in der Begründung sinnvoll unterbringen soll.
Ich hätte einige Angebote:
a)
sin °= GK:H
Wenn H=1 ist, dann
sin °= GK
Und weiter? Bei mir klingelt da nix.
b)
Oder muss ich hier mit Pythagoras kommen? Mit dem kann man die AK ausrechnen.
[mm] sin^2 [/mm] + [mm] AK^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
[mm] 0,7^2 [/mm] + [mm] 0,7^2= 1^2
[/mm]
Aber begründet das mit die Funktionsweise der Scheibe?
c) Oder hat es was zu tun mit dem Bild von Blech (Stefan)?
tan x = GK : AK
Da AK = r =1, dann
tan x = GK
Allerdings bezeichnet AK hier eine Seite ausserhalb der Dreiecke (die sonst immer im Kreis sich befinden).
Oder hat es etwa was zu tun mit folgendem Satz:
Achsenskalierung ist v. 0 bis 1, d.h. wenn man den Quotient (GK/AK) ausrechnet, ergibt das für sin u. cos nur Werte zwischen 0 bis 1.
Auf meiner Scheibe habe ich mir einen ausgedruckten Satz aufgeklebt. Ich tat das, weil ich glaubte, das er von Bedeutung sei. Er lautet:
Da die Hypothenuse die längste Seite ist gilt auch stets sin ° ≤ 1 und cos ° ≤ 1
Für letzte Klärung in dieser Sache nochmals vielen DANK
Ich bin jetzt erschöpft von dem Umfang u. Ausmaß dieser einen Aufg. (es warten noch so viele auf mich) u. hätte deshalb nichts dagegen, wenn du mir DIE richtige Begründung gibst; darf ich mir DIE von dir wünschen?
mfg u. schönen Sonntag
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Mo 20.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja ich hatte mich verschrieben >
2. die Seitnlaenge ist nicht [mm] sin(45^o) [/mm] sondern wenn der Radius 1 LE (Laengeneinheit) ist, dann ist die Seitenlaenge 1LE*sin(45)
sin ist immer eine Zahl, nie ne Laenge.
Aber bei den Kreis mit r=1 dnk dir 1 als irgendeine LE also nicht r=1 sondern r=1LE, dann ist [mm] sin(30^o)=0.5LE/1LE=0.5 [/mm] die Kahthete hat aber die Laenge 0.5LE.
Da alle Katheten kuerzer sind als die Hypothenuse, bzw alle Strecken parallel zur x u. y-Achse kuerzer als der Radius mit 1 LE ist dein Satz klar, ohne ihn aufzuschreiben, die Scheibe zeigt es direkt!
(Wenn man r=1 schreibt, meint man eigentlich immer 1LE und ist nur zu faul das hinzuschreiben! dass r und die anderen Seiten ne Laenge haben ist ir ja klar!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Do 23.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
vielen Dank für die Erläuterung mit dem r u. LE!
Ich hatte sowas in diese Richtung schon geahnt, aber nicht formulieren können.
Frage:
Wie funktioniert die trigonometr. Scheibe?
Meine Antw.:
Stellt man den r auf einen best. Winkel, dann kann man waagerecht den sin dieses Winkels an der y-Achse ablesen (entsprecht senkrecht den cos an x-Achse). Und umgekehrt geht das natürlich auch. Zum cos 0,5 kann man dann auf dem Kreisbogen des r den Winkel 60 Grad ablesen (zB).
Die Länge des r ist egal. ZB. 15 cm
Seine LE ist 1 und entsprechen 15 cm.
Dann muss man für die Skalierungen an den Achsen diese LE anwenden.
Wie?
0,1*15 cm = 1,5 cm
0,2*15 cm = 3 cm
usw.
Für 1 müssen es also 15 cm sein.
(Und siehe da mein r ist real tatsächl. 15 cm).
Der Radius dieses Scheibe ist 1 LE.
1 LE steht für eine best. Länge. Entsprechend zu dieser einen LE sind dann die Skalierungen an den Achsen.
Die GK eines Winkels geteilt durch die AK desselben Winkels - das Ergebnis dieses Quotienten ist die Steigung.
Ich bin mit dieser Antw. nicht wirkl. zufrieden, weil nicht 1x das Wort "Seitenverhältnis" auftaucht. Und der letzte Satz hängt da irgendwie alleine rum - es fehlt mir der Bezug, der Kontext.
Aber wenn ich die Frage/Lösung im Wesentlichen jetzt doch erfasst habe, dann wäre das auch gut u. ausreichend. Muss das Wort Seitenverhältnis überhaupt auftauchen?
Vielleicht darf ich nochmal eine Antw. von dir erhoffen?
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:36 Fr 24.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Sabine
> Frage:
> Wie funktioniert die trigonometr. Scheibe?
> Meine Antw.:
> Stellt man den r auf einen best. Winkel, dann kann man
> waagerecht den sin dieses Winkels an der y-Achse ablesen
> (entsprecht senkrecht den cos an x-Achse). Und umgekehrt
> geht das natürlich auch. Zum cos 0,5 kann man dann auf dem
> Kreisbogen des r den Winkel 60 Grad ablesen (zB).
Hier kommt die Begruendung hin: etwa denn den Radius kann man als Hypothenuse, das Stueck auf der y-achse als Gegenkathete eines rechtwinkligen Dreiecks betrachten, und da man den Radiue 1LE waehlt, kann man direkt ablesen, weil man nur durche 1LE dividiert.
> Die Länge des r ist egal. ZB. 15 cm
> Seine LE ist 1 und entsprechen 15 cm.
> Dann muss man für die Skalierungen an den Achsen diese LE
> anwenden.
> Wie?
> 0,1*15 cm = 1,5 cm
> 0,2*15 cm = 3 cm
> usw.
> Für 1 müssen es also 15 cm sein.
> (Und siehe da mein r ist real tatsächl. 15 cm).
> Der Radius dieses Scheibe ist 1 LE.
> 1 LE steht für eine best. Länge. Entsprechend zu dieser
> einen LE sind dann die Skalierungen an den Achsen.
> Die GK eines Winkels geteilt durch die AK desselben
> Winkels - das Ergebnis dieses Quotienten ist die Steigung.
Da du ja einen Kreis hast sind wenn der Radius 1LE ist die 2 Abschnitte ja auch auomatisch ein r also 1LE
Und lass die Steigung weg, sie hat hier wirklich nix zu suchen, das ist ne sin, cos Scheibe keine Steigungsscheibe.
(die muesste man ja ausrechnen statt abzulesen!
> Ich bin mit dieser Antw. nicht wirkl. zufrieden, weil nicht
> 1x das Wort "Seitenverhältnis" auftaucht. Und der letzte
> Satz hängt da irgendwie alleine rum - es fehlt mir der
> Bezug, der Kontext.
>
> Aber wenn ich die Frage/Lösung im Wesentlichen jetzt doch
> erfasst habe, dann wäre das auch gut u. ausreichend. Muss
> das Wort Seitenverhältnis überhaupt auftauchen?
> Vielleicht darf ich nochmal eine Antw. von dir erhoffen?
> Gruß
> Sabine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
ich hätte in Mathe gern etwas mehr Kontinuität rein. Tgl. 1-2 Std. wäre optimal. Aber leider kann ich nur unregelmäßig hier gucken.
Du bist aber echt schnell. Danke für die Antw. über Nacht!
Und es hat sich ja doch für mich gelohnt nochmal zu fragen.
Hm, dass da beim r nochmal die Hyphotenuse mit rein muss, hätte ich nicht gedacht.
Habe jetzt deine letzten "Anmerkungen" ausgedruckt u. will nochmal die Antw. in einen neuen Fluss bringen. Kann das im Kopf nicht gut u. sitze gern am Schreibtisch u. arb. auch gern mit Papier.
Als nächstes muss ich die Winkel-Fkt. am Einheitskreis erklären.
Dafür haben wir ja schon gute Vorarbeit geleistet mit r = 1 LE, bzw. du. Und das Pi 360 Grad entsprechen wusste ich auch nicht.
Werde aber erst Sa hier wieder gucken können.
Man soll die Winkel-Fkt. geoemtr. erklären (das ist klar, das ist das Ganze mit den Seitenverhältnissen) u.
man soll die W.Fkt. erklären am Einh.-Kreis.
Und für beides ist es unerheblich, dass der tan sich aus sin geteilt durch cos bildet? (mich hat dieses Entdeckung doch so fasziniert).
Schönes Wochenende
Sabine
P.S.: Meine trigonometr. Scheibe ist doch nichts anderes als der 1.te Quadrant des Einheitskreises oder?
P.P.S: Was ist ein neg. Winkel? Ein stumpfer? Alle Winkel, die gr. sind als 90° oder etwa ja,
die Überstreckung über die y-Achse nach links rüber bewirkt ja dass man in den neg. Bereich kommt. Dann sind also Winkel, die wieder gr. als 270° sind wieder positive Winkel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:14 So 26.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Winkel zaehlt man i.a. positiv gegen den Uhrzeigersinn, negativ im Uhrzeigersinn. von der x-Achse aus gerechnet ist also nach oben [mm] +90^o [/mm] oder [mm] \pi/2 [/mm] derselbe winkel ist [mm] -270^o [/mm] das gilt fuer jeden winkel.
da deine kreisscheibe nur 1/4 Kreis? ist kannst du nur bis [mm] 90^o [/mm] ablesen, den rest musst du wissen, also etwa [mm] sin(-90^o)=sin(270^0)=-sin(90^o) [/mm] usw.
Sin und cos Definition am Einheitskreis: der sin ist die Projektion des Radiuszeigers auf die senkrechte Achse, der cos die Projektion auf die waagerechte Achse. dass tan=sin/cos ist ist wahr, hat aber mit der Def. am Kreis nichts zu tun.allerdings kann man auch den tan ablesen, wenn man noch die Tangente auf der x-Achse auftraegt und den Zeiger verlaengert. siehe in wiki unter sinus und cosinus.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
vielen DANK f. deine Antw. u. alle Informationen. Eine war dabei, die wir öfter schon hatten. Das war auch gut, es nochmal so zu erfassen. (das war das mit der Projektion, bzw. dem Ablesen)
Ich muss aber zugeben, dass ich DAS GANZE mit den trigonometr. Fkt. u. all dem Drum u. Dran u. wo u. wie es überall eingebunden ist natürlich noch nicht verstanden habe. Bei weitem nicht. Ich finde das Thema sehr komplex u. umfassend. Und zT auch abstrakt. Was ist überhaupt 0,7. Ein Zahlenwert, ja. Und? (sin45°=0,7)
Was sind diese 0,7? Was sagt mir dieser Wert?
Noch sacht mir dat gor nix. Ist doch auch abstrakt oder?
Aber das mit meiner trigonometr. Scheibe, ein Viertel vom Einh-Kreis, das ist hier jetzt weitaus klarer als zu Beginn u. ERSTMAL beendet.
Vielen herzlichen DANK für deine kontinuierliche Unterstützg!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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