Trigonalisierung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Leute,
ich hab folgende Aufgabe zu lösen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie soll ich auf S kommen?
Auf Wikipedia hab ich gelesen, dass ich irgendwelche Basiswechselmatrizen multiplizieren soll.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo TommyAngelo,
du suchst eine Matrix S, so dass [mm]SAS^{-1} [/mm] eine Dreiecksmatrix ergibt. Ein möglicher Weg führt über die Eigenwerte und Eigenvektoren deiner gegebenen Matrix. Die Matrix S besteht aus den Eigenvektoren - speziellere Details kannst du bestimmt noch nachlesen (zur Kontrolle: die Eigenwerte sind 2 und 3, dabei ist 2 ein "doppelter" --> schaue nach, wie du dafür die Eigenvektoren ermittelst). Wenn du ein CAS wie Derive zur Verfügung hast, kannst du das damit zumindest schon mal antesten  .
Gruß,
weightgainer
|
|
|
| |
|
Jo, also die Eigenvektoren sind [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 2}. [/mm] Und was kann ich jetzt mit denen anfangen?
Also nach ein bisschen rumprobieren hab ich's dann raus:
Wir haben diese Eigenvektoren und ergänzen sie zu einer Basis von [mm] R^3.
[/mm]
Da bietet sich der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] an. Wir schreiben diese Vektoren als Spalten in die Übergangsmatrix.
Jetzt führen wir einen Basiswechsel durch:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}^{-1}\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4}\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}
[/mm]
Die Inverse der Übergangsmatrix ist sie selber, also:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4}\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}=\pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & 2}\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}=\pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
Noch eine Frage: Gibt es dann unendlich viele obere Dreiecksmatrizen, die sich nur vom Eintrag oben rechts unterscheiden (oder auch Mitte rechts)?
Es hängt ja davon ab, mit welchem Vektor man ergänzt hat. Sehe ich das so richtig?
|
|
|
| |
|
> Also nach ein bisschen rumprobieren hab ich's dann raus:
>
> Wir haben diese Eigenvektoren und ergänzen sie zu einer
> Basis von [mm]R^3.[/mm]
> Da bietet sich der Vektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] an. Wir
> schreiben diese Vektoren als Spalten in die
> Übergangsmatrix.
>
> Jetzt führen wir einen Basiswechsel durch:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}^{-1}\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4}\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}[/mm]
>
> Die Inverse der Übergangsmatrix ist sie selber, also:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4}\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}=\pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & 2}\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}=\pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts, das prinzip stimmt jedenfalls.
>
> Noch eine Frage: Gibt es dann unendlich viele obere
> Dreiecksmatrizen, die sich nur vom Eintrag oben rechts
> unterscheiden (oder auch Mitte rechts)?
> Es hängt ja davon ab, mit welchem Vektor man ergänzt hat.
> Sehe ich das so richtig?
Ja. Das kannst Du ja auch experimentierend feststellen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
