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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Do 07.02.2008 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Trigonalisiere A:= [mm]\left[ \begin {array}{ccc} 2&0&1\\\noalign{\medskip}3&0&2\\\noalign{\medskip}1&-1&1\end {array} \right] [/mm]
Die Matrix ist nilpotent.
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Hi,
ich soll oben genannte Matrix Trigonalisieren. Mein Rezept dazu war bisher folgendes:
1) Berechne die Eigenwerte von A. Diese sind (auch laut CAS) c=1.
2) Berechne einen Eigenvektor. Also habe ich den Nullraum der Matrix [mm]\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&1\\\noalign{\medskip}3&-1&2\\\noalign{\medskip}1&-1&0\end {array} \right] [/mm] berechnet und komme auf den Eigenvektor [mm] \pmat{-1\\-1\\1}
[/mm]
3) Setzte zur Basis des [mm] \IR^3 [/mm] fort. Dazu habe ich dann noch die kanonischen Basisvektoren mit dem EV in eine Matrix gepackt und geguckt, wo die Pivot-Spalten sind. Dann habe ich folgende Basis herausgefunden:
[mm] S_0:= \left[ \begin {array}{ccc} -1&1&0\\\noalign{\medskip}-1&0&1
\\\noalign{\medskip}1&0&0\end {array} \right] [/mm]
Okay, dann habe ich [mm] S_0 [/mm] invertiert, und habe [mm] S_0^{-1}AS_0 [/mm] berechnet. Dabei kam heraus [mm] \left[ \begin {array}{ccc} 1&1&-1\\\noalign{\medskip}0&3&-1
\\\noalign{\medskip}0&4&-1\end {array} \right]
[/mm]
4) Man gucke sich die untere 2x2 Matrix an, also [mm]\left[ \begin {array}{cc} 3&-1\\\noalign{\medskip}4&-1\end {array}
\right]
[/mm]
5) Brechne die Eigenwerte der obigen Matrix. Mein Ergebnis: c=1. Dann habe ich einen Eigenvektor brechnet, der bei mir [mm] \pmat{1/2\\1} [/mm] war.
Dann habe ich diesen zu einem dreidimensionalen Vektor ergänzt, so dass man dann [mm] \pmat{0\\1/2\\1} [/mm] als Vektor hat.
6) Ergänze zur Basis.
Diese Basis habe ich dann in eine Matrix gesteckt,d ie dann so ausschaut:
[mm]S_1:= \left[ \begin {array}{ccc} 0&1&0\\\noalign{\medskip}1/2&0&1
\\\noalign{\medskip}1&0&0\end {array} \right] [/mm]
7) Berechne [mm] S:=S_0S_1 [/mm]
8) Dann ist [mm] S^{-1}AS [/mm] trigonal.
Wenn ich das aber brechne (mit CAS) dann kommt das heraus: [mm] \left[ \begin {array}{ccc} 1&0&4\\\noalign{\medskip}-1/2&1&1
\\\noalign{\medskip}0&0&1\end {array} \right] [/mm]
und das ist offensichtlich nicht trigonal.
Weiß jemand, wo der Fehler in meinem Rezept ist? Wäre super, wenn ihr mir den sagen könntet.
Kann es sein, dass man die Berechnung anders machen muss, wenn A nilpotent ist? Ich glaubs fast nicht, aber das obige Rezept hat bisher eigentlich immer geklappt....
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Do 07.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Rein intuitiv und ohne große Ahnung tippe ich mal drauf, dass mit dem 1/2 in dem berechneten EV was nicht stimmt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:42 Do 07.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
habe das vorhin nochmal durchs CAS gejagt,und es kommt der EV raus....
Derselbe Algorithmus funktioniert merkwürdigerweise bei einer anderen Matrix.
Hat das evtl. etwas mit der Nilpotenz zu tun, was ich aber eg. nicht glaube? In der Wikipedia steht ja sogar, dass eine nilpotente Matrix ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist, d.h. sie muss ja trigonalisierbar sein...
LG
Kroni
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:10 Do 07.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
kann es sein, dass man bei der Berechnnung von [mm] S_1 [/mm] nur den zweidimensionalen Eigenvektor nimmt, den zu einer Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ergänzt, und dann [mm] S_1 [/mm] so ausschaut:
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d}
[/mm]
Wenn [mm] \pmat{a\\b} [/mm] der Eigenvektor ist und [mm] \pmat{c\\d} [/mm] der Vektor ist, den ich bei der Basisergänzung dazubekommen habe?
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 09.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 So 10.02.2008 | | Autor: | uffisch |
Na, wenn das mal nicht der Kroni aus der Linearen Algebra Übung
aus Erlangen jeden Freitag ist :)
Du darfst wenn du die Untermatrix A' weiter trigonalisieren willst nicht
wieder mit 3-Dimensionalen Vektoren arbeiten, wie im ersten Schritt.
Stattdessen nimm einfach einen Eigenvektor und ergänze zu Basis
des [mm] \IR^2. [/mm] Dann hast du ja eine neue Matrix S berechnet. Und die ordnest
du nun so an: [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & S \\ }
[/mm]
Denn damit führst du die Operation der Matrix S nur auf die Untermatrix
aus, die du weiter trigonalisieren willst. Bei größeren Matrizen dann beliebig
fortsetzbar.
Grüße, Dani
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 So 10.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für deine Bestätigung.
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 09.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
Deinen Algorithmus durchschaue ich im Moment nicht.
Ich habe das so gemacht:
Eigenvektor berechnet, das war (-1,-1,1)
Dann diesen Eigenvektor durch (1,2,0) zu einer Basis v. [mm] Kern(A-E)^2 [/mm] ergänzt.
Die beiden dann zu einer Basis v. [mm] \IR^3 [/mm] ergänzt.
Diese Basis tut's.
Wie gesagt, ich kenne Deinen Algorithmus nicht oder ich habe ihn vergessen, und ich bin heute zu geistesträge, um mich damit zu beschäftigen.
Mir fällt aber folgendes auf: statt mit (1,2,0) könnte ich auch ebenso erfolgreich mit (1/2, 1, 0) ergänzen, welcher Deinem Vektor nicht unähnlich ist - und doch völlig anders.
Vielleicht solltest Du hierüber mal nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich habe das jetzt mal bei der einen Matrix so gemacht, wie ichs bei der zweiten Frage geschildert habe, und damit funktioniert es auch. Man muss da wohl dann irgendwie iterativ dran....
Das ist schon etwas merkwürdig, weil wir das in der Vorlesung nur so halb besprochen haben...werd meinen Algorithmus mal nochmal an einer anderen Matrix versuchen.
Liebe Grüße und Danke für deine Antwort, die ich gleich auch nochmal versuchen werde.
LG
Andy
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