Triangulierbarkeit, beweis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mo 21.05.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | V= ein n-dimensionaler Vektorraum
[mm] \phi:V->V [/mm] linear.
Zeige dass [mm] \phi [/mm] genau dann triangulierbar ist, wenn [mm] \phi^t [/mm] : [mm] V^{\*}-> V^{\*} [/mm] triangulierbar ist. SChließe daraus, dass eine Matrix A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] genau dann triangulierbar ist, wenn die transponierte Matrix [mm] A^t \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] triangulierbar ist.
[mm] V^{\*}.. [/mm] Dualraum von V |
Mein wissen über duale Abbildungen, das helfen könnte:
[mm] \alpha \in V^{\*}
[/mm]
[mm] \alpha: V->\IK
[/mm]
[mm] \phi^t(\alpha)=\alpha \circ\ \phi
[/mm]
[mm] b_1^{\*},..,b_n^{\*} [/mm] ist eine Basis von [mm] V^{\*} [/mm] (die zu [mm] b_1,..,b_n [/mm] duale Basis) und [mm] dim(V^{\*})= [/mm] dim(V)
Außerdem [mm] b_i^{\*} (b_j) =\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \\ 0, & \mbox{für } i\not=j \end{cases}
[/mm]
Eine Matrix/Abbildung ist genau dann triangulierbar wenn ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. bzw. es Basen gibt, sodass die Matrix ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Wie hängt das char. Polynom von [mm] \Phi [/mm] mit dem char. Polynom von [mm] \Phi^t [/mm] zusammen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Di 22.05.2012 | | Autor: | sissile |
> Wie hängt das char. Polynom von [mm]\Phi[/mm] mit dem char. Polynom
> von [mm]\Phi^t[/mm] zusammen ?
>
> FRED
Die beiden charakteristischen Polynome sind gleich.
=> selbe eigenwerte
außerdem gilt [mm] [\phi^t]_{B^{\*} B^{\*}} [/mm] = [mm] [\phi]^t_{BB}
[/mm]
wobei [mm] B^{\*} [/mm] die zu B duale Basis von [mm] V^{\*} [/mm] ist.
wenn mir das weiter hilft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Wie hängt das char. Polynom von [mm]\Phi[/mm] mit dem char. Polynom
> > von [mm]\Phi^t[/mm] zusammen ?
> >
> > FRED
> Die beiden charakteristischen Polynome sind gleich.
> => selbe eigenwerte
Das hast Du geschrieben:
Eine Matrix/Abbildung ist genau dann triangulierbar wenn ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt
machts "klick" ?
FRED
>
> außerdem gilt [mm][\phi^t]_{B^{\*} B^{\*}}[/mm] = [mm][\phi]^t_{BB}[/mm]
> wobei [mm]B^{\*}[/mm] die zu B duale Basis von [mm]V^{\*}[/mm] ist.
>
>
> wenn mir das weiter hilft.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 22.05.2012 | | Autor: | sissile |
Wenn [mm] \phi [/mm] triangulierbar ist => zerfällt sein charakteristisches Polynom in Linearfaktoren => [mm] \phi^t [/mm] selbe charakteristische Polynom => zerfällt ebenfalls in Linearfaktoren => [mm] \phi^t [/mm] triangulierbar
Die Pfeile gehen genauso in die umgekehrte richtung.
ABer das ist doch kein beweis?
In der Vorlesung haben wir nur gezeigt, dass die charakeristischen Polynome einer Matrix und der transponierten Matrix gleich ist.
Muss ich da noch was zeigen?
> SChließe daraus, dass eine Matrix A $ [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] $ genau dann triangulierbar ist, wenn die transponierte Matrix $ [mm] A^t \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] $ triangulierbar ist.
Bis auf Isomorphismen kann [mm] \phi^t [/mm] mit [mm] A^t [/mm] assoiert werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wenn [mm]\phi[/mm] triangulierbar ist => zerfällt sein
> charakteristisches Polynom in Linearfaktoren => [mm]\phi^t[/mm]
> selbe charakteristische Polynom => zerfällt ebenfalls in
> Linearfaktoren => [mm]\phi^t[/mm] triangulierbar
>
> Die Pfeile gehen genauso in die umgekehrte richtung.
> ABer das ist doch kein beweis?
Warum nicht ? Nur schöner aufschreiben solltest Du ihn.
> In der Vorlesung haben wir nur gezeigt, dass die
> charakeristischen Polynome einer Matrix und der
> transponierten Matrix gleich ist.
> Muss ich da noch was zeigen?
Nö.
>
> > SChließe daraus, dass eine Matrix A [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> genau dann triangulierbar ist, wenn die transponierte
> Matrix [mm]A^t \in M_{n \times n} (\IK)[/mm] triangulierbar ist.
> Bis auf Isomorphismen kann [mm]\phi^t[/mm] mit [mm]A^t[/mm] assoiert werden.
assoziiert ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:25 Di 22.05.2012 | | Autor: | sissile |
ABer dann ist das Bsp doch "geschenkt"?
> > SChließe daraus, dass eine Matrix A $ [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] $
> genau dann triangulierbar ist, wenn die transponierte
> Matrix $ [mm] A^t \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] $ triangulierbar ist.
> Bis auf Isomorphismen kann $ [mm] \phi^t [/mm] $ mit $ [mm] A^t [/mm] $ assoiert werden.
> assoziiert ?
Jap meinte ich, zu schnell geschrieben. Ist das nicht die Begründung für die Frage?
Mich stört jan das mit "bis auf Isomorphismen"- Weil so bin ich mir nicht sicher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mi 23.05.2012 | | Autor: | sissile |
Noch wer eine Idee?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Noch wer eine Idee?
Wie, noch wer eine Idee ? Was soll das ? Ich hab Dir die Frage doch vollständig beantwortet !
FRED
> Liebe Grüße
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:19 Mi 23.05.2012 | | Autor: | sissile |
Hei,
Aber ich weiß doch nur dass das charakeritische Polynom von einer Matrix und ihrer Transponierten Matrix gleich ist.
Die duale Abbildung wird aber BIS AUF EINEN ISOMORPHISMUS mit der transponierten matrix assoziiert.
Was ist mit die Isomorphismen, die noch in der det stehen im charakeristischen Polynom?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 25.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 24.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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