Treppenfunktionen R Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Treppenfunktionen auf dem Intervall $[a, b]$ einen [mm] \IR-Vektorraum [/mm] bilden |
Laut unserer Definition muss ich das hier alles zeigen:
[mm] \alpha, \beta \in \IR, [/mm] $x,y$ [mm] \in [/mm] {Menge der Treppenfunktionen}
zz. [mm] $(\alpha \beta)x [/mm] = [mm] \alpha(\beta [/mm] x)$
bew: [mm] $(\alpha \beta)x [/mm] = [mm] (\alpha \beta)f(a) [/mm] = [mm] (\alpha \beta)c [/mm] = [mm] \alpha(\beta [/mm] c) = [mm] \alpha(\beta [/mm] f(a)) = [mm] \alpha(\beta [/mm] x)$
zz. $1x = x$
bew. $1x = 1f(a) = 1c = c = f(a) = x$
zz. [mm] $(\alpha [/mm] + [mm] \beta)x [/mm] = [mm] \alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] x$
bew. [mm] $(\alpha [/mm] + [mm] \beta)x [/mm] = [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta)f(a) [/mm] = [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] c = [mm] \alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] c = [mm] \alpha [/mm] f(a) + [mm] \beta [/mm] f(a) [mm] =\alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] x$
zz. [mm] $\alpha [/mm] (x + y) = [mm] \alpha [/mm] x + [mm] \alpha [/mm] y$
bew. [mm] $\alpha [/mm] (x + y) = [mm] \alpha [/mm] (f(a) + f(b)) = [mm] \alpha (c_1 [/mm] + [mm] c_2) [/mm] = [mm] \alpha c_1 [/mm] + [mm] \alpha c_2 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] x + [mm] \alpha [/mm] y$
Darf ich das so schreiben, also darf ich ausnutzen das die Funktionenen ja auf eine Zahl auf [mm] \IR [/mm] abbilden und diese als konstant annehmen? Weil dann haette ich ja nur * und + auf den reellen Zahlen und koennte dann die Umformungen so vornehmen wie oben?
Gruss und Danke
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> Zeigen Sie, dass die Treppenfunktionen auf dem Intervall
> [mm][a, b][/mm] einen [mm]\IR-Vektorraum[/mm] bilden
> Laut unserer Definition
Hallo,
lt. Eurer Definition für was? Das solltest Du dazusagen. Falls Du die VR-Definition meinst, fehlt ja noch ein bißchen was.
Je nachdem, was Ihr in der Vorlesung schon gezeigt habt, mußt Du die ganzen VR-Axiome vorrechnen, oder, sofern Ihr bereits wißt, daß die reellen Funktionen mit der punktweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren einen VR bilden, mußt Du bloß die Unterraumkriterien vorrechnen.
Ich gehe von letzterem aus, aber wissen kannst nur Du es.
> muss ich das hier alles zeigen:
> [mm]\alpha, \beta \in \IR,[/mm] [mm]x,y[/mm] [mm]\in[/mm] {Menge der
> Treppenfunktionen}
>
> zz. [mm](\alpha \beta)x = \alpha(\beta x)[/mm]
> bew: [mm](\alpha \beta)x = (\alpha \beta)f(a) = (\alpha \beta)c = \alpha(\beta c) = \alpha(\beta f(a)) = \alpha(\beta x)[/mm]
Dreierlei:
1. Mich überzeugt das nicht. Was machst Du, wenn ich nicht glaube, daß das gilt? (Du mußt stichhaltige Begründungen bringen)
2. Ich sehe nicht, daß hier etwas über Treppenfunktionen bewiesen wird.
3. Du redest davon, daß x und y Treppenfunktionen sind fängst an, für x zu beweisen, gehst dann plötzlich über zu f? Wenn 's Dir mit f leichter fällt, warum nennst Du das Kind dann nicht gleich f?
Dann mußt Du Dir klarmachen, daß zwischen der Funktion f und f(a), also dem Funktionswert von f an der Stelle a, ein Riesenunterschied ist. f(a) ist nämlich eine Zahl, f eine Funktion.
Das geht so nicht. Dir passiert hier, daß Du ein Durcheinander anrichtest zwischen dem Rechnen mit Funktionen und dem mit Fiunktionswerten.
> Darf ich das so schreiben,
Nein.
>also darf ich ausnutzen das die
> Funktionenen ja auf eine Zahl auf [mm]\IR[/mm] abbilden
Ja.
Ich will Dir ein kleines Beispiel machen:
seinen f,g,h reelle Funktionen.
Wenn man zeigen will daß (f+g)+h= f+(g+h) richtig ist, besinnt man sich darauf, wie die Gleichheit von Funktionen definiert ist (schlag das nach), und beweist, daß für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt
[(f+g)+h](x)= [f+(g+h)](x) . Um dies zu zeigen, besinnt man sich auf die Def. der punktweisen Addition und erhält (mit 1-2 Zwischenschritten) (f(x)+g(x))+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)).
Dort, wo Du mit den Funktionswerten rechnest, darfst Du natürlich die Eigenschaften der reellen zahlen verwenden.
Gruß v. Angela
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