Treppenfunktion auf R^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mo 15.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Es seien f eine Treppenfunktion auf [mm] \IR^n [/mm] und [mm] \alpha > 0 [/mm]. Zeigen Sie, dass
[mm] f_a : \IR^n \to \IR, x \to f_a(x):=f(a x) [/mm] ebenfalls eine Treppenfunktion ist und dass
[mm] \integral f_a d \lambda_n = a^{-n} \integral f d \lambda_n [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
wenn f eine Treppenfunktion auf [mm] \IR^n [/mm] ist, dann gibt es ein [mm] f(x)=\beta, x \in Q [/mm] für jeden Quader Q der Zerlegung.
Angenommen dieses a von [mm] f_a [/mm] sei 3:
Dann ist [mm] f_3(x)=f(3x) [/mm] der [mm] \beta[/mm]-Wert des 3-fachen x-Wertes.
Stimmt das ?
Dann könnte es aber doch sein, dass x nicht mehr in dem betrachteten Quader liegt ?
Ausserdem müsste dann das Integral von [mm] f_3 [/mm] mit dem Kehrwert multipliziert werden und nicht das Integral von f ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 15.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach das doch erst mal 1 d natuerlich liegt f(3x) nicht im unbedingt selben Quader wie f(x) es gilt ja nicht f(3x)=f(x)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mo 15.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Leduart,
vielen Dank für Deine Hilfe.
> Hallo
> mach das doch erst mal 1 d natuerlich liegt f(3x) nicht im
> unbedingt selben Quader wie f(x) es gilt ja nicht
> f(3x)=f(x)
Leider komme ich aber immer noch nicht so richtig weiter.
Wenn ich [mm] f_a [/mm] = [mm] f_1 [/mm] setze, dann ist [mm] f_1=f [/mm] und [mm] f_1(x)=f(x) [/mm] und:
Intergral von [mm] f_1 [/mm] = 1 mal das Integral von f.
Damit verstehe ich aber die Zusammenhänge zwischen f unf [mm] f_a [/mm] immer noch nicht.
Zwischen [mm] f(ax) = \beta_a [/mm] und [mm] f(x)=\beta [/mm] besteht doch keine lineare Verbindung ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mo 15.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm f(x)=b fuer 0<x<1 f(x)=c fuer 1<x<2 f(x)=d fuer 2<x<3
f(ax)=1 fuer 0<x<1/a f(x)=2 fuer 1/a<x<2/a usw.
machs entspr. fuer mehrdim x.
hat dein Integral auch Grenzen? sonst ist das doch recht sinnlos.
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
vielen Dank für Deine Hilfe; ich glaube, jetzt habe ich etwas mehr verstanden.
> nimm f(x)=b fuer 0<x<1 f(x)=c fuer 1<x<2 f(x)=d fuer 2<x<3
> f(ax)=1 fuer 0<x<1/a f(x)=2 fuer 1/a<x<2/a usw.
> machs entspr. fuer mehrdim x.
> hat dein Integral auch Grenzen? sonst ist das doch recht
> sinnlos.
Das bedeutet, die Intervallgrenzen müssen mit dem Kehrwert des Faktors aus [mm] f_a [/mm] multipliziert werden, damit [mm] f_a [/mm] = f ist.
Mein Integral hat keine Grenzen in dieser Aufgabe, ich muss das irgendwie allgemein zeigen.
Aber da der Wert, der durch ein Integral ermittelt wird, von den Intervallgrenzen abhängt, müsste das doch irgendwie so etwas sein:
Wenn [mm] f_a(x)=f(ax) \Rightarrow [/mm] Intervallgrenzen von [mm] f_a [/mm] = (Intervallgrenzen) [mm] \bruch{1}{a} [/mm] von [mm] f \Rightarrow \integral f_a = \bruch{1}{a} \integral f [/mm].
Ist das richtig ?
Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 18.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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