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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei [mm] (f_{n}) [/mm] eine Folge von Treppenfunktionen auf einem abgeschlossenen Intervall I so,
daß [mm] \summe_{n=1}^{\infty}||f_{n}||_{\infty} [/mm] < [mm] \infty [/mm] und f = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_{n}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass
[mm] \integral_{I}^{}{f}= \summe_{n=1}^{\infty}\integral_{I}^{}f_{n}. [/mm] |
Hallo,
Fragen dazu :
1) soll man hier grundsätzlich "linke Seite = .... = rechte Seite" vorgehen , um
die Gleichheit zu zeigen?
Oder, man soll es mit "linke Seite [mm] \ge [/mm] rechte Seite und linke Seite [mm] \le [/mm] rechte Seite" machen ?
2) Ich habe eine Aufgabe mit Lösung, wo die Gleichheit für zwei Treppenfunktionen
gezeigt wurde. D.h Int(f+g)=Int (f)+Int(g).Soll man bei der geposteten Aufgabe
den Fall für zwei Treppenfunktionen auf den Fall unendlich vieler Treppenfunktionen
sinnvoll übertragen?
Im Prinzip steht bei der Gleichung , dass das Integral von f gleich der Summe der einzelnen Integrale von [mm] f_{n}. [/mm] Also, man könnte intuitiv so vorgehen, dass man folgendes zeigt : Int( [mm] f_{1}+ f_{2}+...+...) [/mm] = Int [mm] f_{1} [/mm] + Int [mm] f_{2}+....+... [/mm] , indem man den
schon bewiesenen Fall für zwei Treppenfunktionen hier benutzt.
Ist der Ansatz ok ?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 25.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
[mm] $|f_n(x)| \le ||f||_{\infty}$ [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] I und jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
Nach dem Kriterium von Weierstraß konvergiert [mm] \sum f_n [/mm] auf I gleichmäßig gegen f.
Hilft das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Igor1 |
Ja, das hilft.
Danke.
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