Trennung der Veränderlichen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Do 18.07.2013 | | Autor: | arti8 |
| Aufgabe | [mm] 1+y^{2}+xyy' [/mm] = 0
Musterlösung: [mm] x^{2}(1+y^{2}) [/mm] = C |
hallo,
häng an der Aufgabe fest.
Ich bin bisher so vorgegangen:
umstellen sodass x und y auf einer Seite sind.
also:
[mm] y^{2}+xyy'=-1 [/mm] / [mm] -y^{2} [/mm] /:y
xy' = [mm] \bruch{-1-y^{2}}{y}
[/mm]
an der Stelle y' = [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] setzen
[mm] x*\bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{-1-y^{2}}{y} [/mm] /:dy
[mm] x*\bruch{1}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{-1-y^{2}}{y*dy}
[/mm]
das verwirrt mich etwas das dx und dy im Nenner stehen.
Was mache ich falsch ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:36 Do 18.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
bilde auf beiden Seiten den Kehrwert, dann stehen dx und dy im Zähler.
Das entstehende Integral löst du mit Substitution.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Do 18.07.2013 | | Autor: | arti8 |
Danke erstmal für den tipp.
also ich bin nun so vorgegangen:
$ [mm] x\cdot{}\bruch{dy}{dx} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-1-y^{2}}{y} [/mm] $ [mm] /:\bruch{dy}{dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{y}{-(1+y^{2})}*\bruch{dy}{dx} [/mm] /*dx
[mm] \bruch{1}{x}*dx [/mm] = [mm] \bruch{y}{-(1+y^{2})}*dy [/mm] / [mm] u=-(1+y^{2})
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{y}{u} dy}
[/mm]
und jetzt die Stammfunktion bilden:
ln(|x|)+C1 = y*ln(|u|)+C2 und jetzt e anwenden
Hab ich bisher alles richtig gemacht ?
|
|
|
| |
|
Hallo arti8,
> Danke erstmal für den tipp.
>
> also ich bin nun so vorgegangen:
>
> [mm]x\cdot{}\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{-1-y^{2}}{y}[/mm]
> [mm]/:\bruch{dy}{dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] = [mm]\bruch{y}{-(1+y^{2})}*\bruch{dy}{dx}[/mm] /*dx
>
> [mm]\bruch{1}{x}*dx[/mm] = [mm]\bruch{y}{-(1+y^{2})}*dy[/mm] / [mm]u=-(1+y^{2})[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{y}{u} dy}[/mm]
>
[mm]y \ dy[/mm] ist ebenfalls durch
eine Funktion von u und
sein Differential du zu ersetzen.
> und jetzt die Stammfunktion bilden:
>
> ln(|x|)+C1 = y*ln(|u|)+C2 und jetzt e anwenden
>
> Hab ich bisher alles richtig gemacht ?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 18.07.2013 | | Autor: | arti8 |
Das verstehe ich nicht.
wie würde das den ausgeführt aussehen ?
|
|
|
| |
|
Hallo arti8,
> Das verstehe ich nicht.
>
> wie würde das den ausgeführt aussehen ?
Subsituiert wurde doch [mm]u=-\left(1+y^{2}\right)[/mm]
Damit ist [mm]du =-2y \ dy[/mm]
Dann lautet die Gleichung
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} \ dx}=\integral_{}^{}{-\bruch{1}{2u} \ du}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Do 18.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
du hast einen Faktor 2 vergessen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Do 18.07.2013 | | Autor: | arti8 |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Do 18.07.2013 | | Autor: | arti8 |
jap wollte grade schreiben das ich da was anderes raus bekomme.
habe nun:
[mm] -\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{u} du}
[/mm]
daraus folgt ja:
[mm] -\bruch{1}{2}*ln(|u|) [/mm] = ln(|x|) + C /rücksubstitution
[mm] -\bruch{1}{2}*ln(|-(1+y^{2}|) [/mm] = ln(|x|) + C
Sollte ich das C erstmal noch weglassen ? damit ich "e" anwenden kann ?
Ich habe das Gefühl das es immernoch nicht stimmt.
Die Musterlösung lautet: [mm] x^{2}(1+y^{2}) [/mm] = C
|
|
|
| |
|
Hallo arti8,
> jap wollte grade schreiben das ich da was anderes raus
> bekomme.
>
Ich hab's selber bemerkt.
> habe nun:
>
> [mm]-\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{u} du}[/mm]
>
> daraus folgt ja:
>
> [mm]-\bruch{1}{2}*ln(|u|)[/mm] = ln(|x|) + C /rücksubstitution
>
> [mm]-\bruch{1}{2}*ln(|-(1+y^{2}|)[/mm] = ln(|x|) + C
>
> Sollte ich das C erstmal noch weglassen ? damit ich "e"
> anwenden kann ?
> Ich habe das Gefühl das es immernoch nicht stimmt.
>
Multipliziere mit 2 durch und wende dann "e" an
und definiere dann die Konstante als C.
> Die Musterlösung lautet: [mm]x^{2}(1+y^{2})[/mm] = C
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Do 18.07.2013 | | Autor: | arti8 |
Danke. Leider habe ich immernoch nicht das gewünschte Ergebnis.
Rechenweg:
[mm] -\bruch{1}{2}*ln(|-1-y^{2}|) [/mm] = ln(|x|) / *2
[mm] -ln(|-1-y^{2}|) [/mm] = [mm] ln(|x^{2}|) [/mm] / e
[mm] 1+y^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + C / - [mm] x^{2}
[/mm]
[mm] 1+y^{2}-x^{2} [/mm] = C
hmmm... ich habe ja schonmal die variabeln und zahlen da stehne. Aber es ist nicht die Musterlösung.
Ist jetzt die Musterlösung falsch oder hab ich wieder was dummes gemacht ? :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Do 18.07.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe mir nicht alles durchgelesen, aber es gilt doch $ [mm] -ln(|-1-y^{2}|) [/mm] = [mm] ln(\frac{1}{1+y^{2}}) [/mm] $. Hilft dir das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Fr 19.07.2013 | | Autor: | arti8 |
nee leider nicht. Ich habe alles so umgestellt das ich aus der Gleichung:
[mm] 1+y^{2}+xyy'=0
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{y}{-(1+y^{2}}dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
und aus:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{y}{-(1+y^{2}}dy} [/mm] habe ich mithilfe von substitution: u = [mm] -(1+y^{2})
[/mm]
das Integral: [mm] -\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{u}du}
[/mm]
nach Intergration und Rücksubstitution folgt dann:
[mm] -\bruch{1}{2}*ln(|-1-y^{2}|) [/mm] = ln(|x|)
ABer nach anwenden von "e" weiß ich nicht wie ich auf die Musterlösung von:
C = [mm] x^{2}(1+y{2}) [/mm] komme.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Teufel |
Ok, also aus $ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{y}{-(1+y^{2})}dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] $ folgt doch [mm] $\ln(\frac{1}{1+y^2})+c=\ln(x^2)$. [/mm] Du fügst die additive Konstante erst irgendwie später ein, aber die kommt schon direkt mit rein, wenn du die Integralzeichen los wirst. Dann folgt Exponentiation etc.: [mm] $e^{\ln(\frac{1}{1+y^2})+c}=e^{\ln(x^2)} \Leftrightarrow \frac{1}{1+y^2}*\underbrace{e^c}_{=:C}=x^2 \gdw C=x^2(1+y^2)$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Fr 19.07.2013 | | Autor: | arti8 |
ok danke.
Ich kann die Rechnung nachvollziehen und sie führt auch zum richtigen ergebniss.
Aber warum ist dann meine Rechnung falsch. ich hab doch eigtl alles richtig gemacht, bis auf die Constanten.
ich meine:
[mm] -\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u} du}
[/mm]
[mm] u=-(1+y^{2})
[/mm]
Ich dachte die Rücksubstitution macht man nachdem integrieren ?
den es gilt ja auch [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = ln(x)
Das verstehe ich leider nicht.
|
|
|
| |
|
Guten Morgen,
du hast alles richtig berechnet. Teufel hast nur gewisse Umformungen noch zusätzlich gemacht.
Wir gehen von diesem Term aus, der aus der Integration folgt:
[mm] -\bruch{1}{2}\cdot{}ln(|-1-y^{2}|)
[/mm]
Nach Anwendung der Logarithmengesetze und nach Entfernnung des Betrages ist dies äquivelant zu:
[mm] ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\right)
[/mm]
Auf der rechten Seite stand ln(|x|), sodass wir also haben:
[mm] ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\right)=ln(|x|)+c
[/mm]
Jetzt wie gewohnt: e^ anwenden, dann meinetwegen noch quadrieren und man erhält:
[mm] \frac{1}{1+y^2}=C*x^2
[/mm]
Und nun identisch mit dem von Teufel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 19.07.2013 | | Autor: | arti8 |
Mir ist leider immernoch nicht alles klar.
$ [mm] -\bruch{1}{2}\cdot{}ln(|-1-y^{2}|) [/mm] $
hier kann ich ja [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] in ln reinziehen würde dann so aussehen.
$ [mm] \cdot{}ln(|-(1+y^{2})|)^{-\bruch{1}{2}}) [/mm] $
daraus würde dann umgeformt ergeben:
[mm] \cdot{}ln(\bruch{1}{\wurzel{-(1+y^{2})}})
[/mm]
oder ? wäre das so nicht richtig ?
wieso ist das "-" in der Wurzel in deiner Rechnung verschwunden ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
Frage:
Was ist $|-x|$ ?
Antwort:
a) $3$
b) $x$
c) $2x$
d) [mm] \sqrt{x^2}, [/mm] also insbesondere $>0$
nächste Frage:
Was ist [mm] $|-\sqrt{1+y^2}|$?
[/mm]
> Mir ist leider immernoch nicht alles klar.
>
> [mm]-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(|-1-y^{2}|)[/mm]
>
> hier kann ich ja [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] in ln reinziehen würde dann
> so aussehen.
>
> [mm]\cdot{}ln(|-(1+y^{2})|)^{-\bruch{1}{2}})[/mm]
Hier stimmt etwas mit den KLammern nicht.
>
> daraus würde dann umgeformt ergeben:
>
> [mm]\cdot{}ln(\bruch{1}{\wurzel{-(1+y^{2})}})[/mm]
>
> oder ? wäre das so nicht richtig ?
>
> wieso ist das "-" in der Wurzel in deiner Rechnung
> verschwunden ?
Betrag, Betrag, Betrag ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Fr 19.07.2013 | | Autor: | arti8 |
ja stimmt hast recht ist mir grade auch eingefallen.
hab zu früh gefragt. :D
ln und innerhalb der wurzel darf es ja nichts negatives geben. *kopf gegen wand hauen*
ich könnte also auch:
[mm] ln(\bruch{1}{\wurzel{|-(1+y^{2})|}})
[/mm]
wo ich dann [mm] |-(1+y^{2})| [/mm] auch sofort zu [mm] (1+y^{2}) [/mm] umwandeln kann, weil anders würde es ja nicht gehen.
und für [mm] y^{2} [/mm] kann man trotzdem negative Werte eingeben da es quadriert wird.
hätte ich aber ein y mit ungeradem Exponenten müsste ich die betragsstriche in jedem Fall stehen lassen richtig ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Fr 19.07.2013 | | Autor: | arti8 |
etwas habe ich noch.
Ich hoffe dann ist mir alles klar.
ich habe nun diese Gleichung hier:
[mm] ln(\bruch{1}{1+y^{2}}+2C [/mm] = [mm] ln(x^{2})+2C [/mm] /e anwenden
[mm] e^{ln(\bruch{1}{1+y^{2}}+2C} [/mm] = [mm] e^{ln(x^{2})+2C}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \bruch{1}{1+y^{2}}*e^{2C} [/mm] = [mm] x^{2}*e^{2C} [/mm]
Was mache ich den jetzt mit [mm] e^{2C} [/mm] ??
ist es eine Regel bei diesen DGL das daraus einfach nur C gemacht wird ?
|
|
|
| |
|
> etwas habe ich noch.
>
> Ich hoffe dann ist mir alles klar.
>
> ich habe nun diese Gleichung hier:
>
> [mm]ln(\bruch{1}{1+y^{2}}+2C[/mm] = [mm]ln(x^{2})+2C[/mm] /e anwenden
Was soll das denn sein?!
Achte auf Klammern!!!
>
> [mm]e^{ln(\bruch{1}{1+y^{2}}+2C}[/mm] = [mm]e^{ln(x^{2})+2C}[/mm]
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{1+y^{2}}*e^{2C}[/mm] = [mm]x^{2}*e^{2C}[/mm]
>
> Was mache ich den jetzt mit [mm]e^{2C}[/mm] ??
>
> ist es eine Regel bei diesen DGL das daraus einfach nur C
> gemacht wird ?
Wie es gemacht wird, hat doch Teufel schon perfekt ausgeführt:
https://matheraum.de/read?i=976488
Generell ist: exp(x+y)=exp(x)*exp(y) !!! Danach kann man doch [mm] e^c=C_1 [/mm] setzen. also einfach eine neue Konstante.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Fr 19.07.2013 | | Autor: | arti8 |
also nochmal meinen kompletten Rechenweg.
[mm] -\bruch{1}{2}*ln(|-(1+y^{2})|)+C1 [/mm] = ln(|x|)+C2 \ *2
[mm] -1*ln(|-(1+y^{2})|)+2*C1 [/mm] = 2*ln(|x|)+2*C2 \ umformen
[mm] ln(\bruch{1}{(1+y^{2})})+2*C1 [/mm] = [mm] ln(x^{2})+2*C2 [/mm] \ e
[mm] e^{(ln(\bruch{1}{(1+y^{2})}) + 2*C1 )} [/mm] = [mm] e^{(ln(x^{2})+2*C2)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(1+y^{2})}*e^{2*C1} [/mm] = [mm] x^{2}*e^{2*C2} [/mm] \ [mm] *(1+y^{2}) [/mm] \ [mm] :e^{2*C2}
[/mm]
[mm] \bruch{e^{2*C1}}{e^{2*C2}} [/mm] = [mm] x^{2}*(1+y^{2}) [/mm] \ [mm] \bruch{e^{2*C1}}{e^{2*C2}}=C
[/mm]
wäre demnach:
C = [mm] x^{2}*(1+y^{2})
[/mm]
Hab ich es nun richtig gemacht ? müsste dich jetzt stimmen oder ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Fr 19.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das steht doch auch an anderer Stelle!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> also nochmal meinen kompletten Rechenweg.
>
> [mm]-\bruch{1}{2}*ln(|-(1+y^{2})|)+C1[/mm] = ln(|x|)+C2 \ *2
Warum subtrahierst du nicht auf beiden Seiten C1? So kannst du doch C:=C2-C1 setzen. Das vereinfacht doch die Rechnungen.
>
> [mm]-1*ln(|-(1+y^{2})|)+2*C1[/mm] = 2*ln(|x|)+2*C2 \ umformen
>
> [mm]ln(\bruch{1}{(1+y^{2})})+2*C1[/mm] = [mm]ln(x^{2})+2*C2[/mm] \ e
>
> [mm]e^{(ln(\bruch{1}{(1+y^{2})}) + 2*C1 )}[/mm] =
> [mm]e^{(ln(x^{2})+2*C2)}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{1}{(1+y^{2})}*e^{2*C1}[/mm] = [mm]x^{2}*e^{2*C2}[/mm] \
> [mm]*(1+y^{2})[/mm] \ [mm]:e^{2*C2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{e^{2*C1}}{e^{2*C2}}[/mm] = [mm]x^{2}*(1+y^{2})[/mm] \
> [mm]\bruch{e^{2*C1}}{e^{2*C2}}=C[/mm]
>
>
> wäre demnach:
>
>
> C = [mm]x^{2}*(1+y^{2})[/mm]
Jop jop
>
>
> Hab ich es nun richtig gemacht ? müsste dich jetzt stimmen
> oder ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Fr 19.07.2013 | | Autor: | arti8 |
stimmt würde auch gehen.
Hauptsache ich habs jetzt. :D
Danke für die Hilfe und vorallem Geduld. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:42 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Teufel,
> Ok, also aus
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{y}{-(1+y^{2})}dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
> folgt doch [mm]\ln(\frac{1}{1+y^2})+c=\ln(x^2)[/mm].
Das folgt aber nicht unmittelbar nach Integration.
Es ist doch [mm] \integral_{}^{}{\bruch{y}{-(1+y^{2})}dy}=ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\right)+c
[/mm]
Grüße
> Du fügst die
> additive Konstante erst irgendwie später ein, aber die
> kommt schon direkt mit rein, wenn du die Integralzeichen
> los wirst. Dann folgt Exponentiation etc.:
> [mm]e^{\ln(\frac{1}{1+y^2})+c}=e^{\ln(x^2)} \Leftrightarrow \frac{1}{1+y^2}*\underbrace{e^c}_{=:C}=x^2 \gdw C=x^2(1+y^2)[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja ok, dann folgt es eben nachdem man noch *2 gerechnet hat. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:04 Do 18.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Viel einfacher kommst Du ans Ziel, wenn Du setzt:
[mm] $u:=1+y^2$.
[/mm]
Das führt auf die DGL
$2u+xu'=0$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]1+y^{2}+xyy'[/mm] = 0
>
>
> Musterlösung: [mm]x^{2}(1+y^{2})[/mm] = C
>
> hallo,
>
> häng an der Aufgabe fest.
>
> Ich bin bisher so vorgegangen:
>
> umstellen sodass x und y auf einer Seite sind.
>
> also:
>
> [mm]y^{2}+xyy'=-1[/mm] / [mm]-y^{2}[/mm] /:y
>
> xy' = [mm]\bruch{-1-y^{2}}{y}[/mm]
>
> an der Stelle y' = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] setzen
>
> [mm]x*\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{-1-y^{2}}{y}[/mm] /:dy
>
> [mm]x*\bruch{1}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{-1-y^{2}}{y*dy}[/mm]
>
>
> das verwirrt mich etwas das dx und dy im Nenner stehen.
> Was mache ich falsch ?
>
Diese Aufgabe kann man auch mit exakten DGLen lösen:
Die DGL
$ [mm] 1+y^{2}+xyy' [/mm] = 0 $
ist zwar nicht exakt, aber diese (Mult. mit x)
$ [mm] x(1+y^{2})+x^2yy' [/mm] = 0 .$
Eine Stammfunktion von $( [mm] x(1+y^{2}), [/mm] x^2y)$ ist schnell gefunden: [mm] F(x,y)=\bruch{1}{2}x^2(1+y^2).
[/mm]
Die Lösungen der DGL sind also implizit gegeben durch
F(x,y)=c
oder
[mm] x^2(1+y^2)=C.
[/mm]
FRED
|
|
|
|
