Trennung der Veränderlichen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie mit Hilfe der Seperationsmethode die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung:
$ [mm] y´=e^{-y+4x} [/mm] $ , $ y(0)=1$ . |
| Aufgabe 2 | | $ [mm] y´=-2xy^2 [/mm] $ , $ y(0)=-0,5$ |
Bei der zweiten Aufgabe habe ich als Ergebnis [mm] $y=-1/{-x^2+2}$ [/mm] raus was glaube ich stimmt
nur bei der ersten Aufgabe komme ich nicht weiter
ich habe
[mm] $y´=e^{-y+4x}$
[/mm]
[mm] $dy/dx=e^{-y+4x}$
[/mm]
$ln|dy|/ln|dx|=-y+4x$
$ln|dy|-ln|dx|=-y+4x$
$ln|dy|/y=4x dx$
$e^ydy=e^4xdx$
Stimmt das? bin mir ziemlich Unsicher
Nach Intergration wäre es
[mm] $e^y=1/4e^{4x}+C$
[/mm]
$y=ln|1/4|*4x*ln|C|$
Mit der anfangsbedingung
$y(0)=1$
würde
$1=ln|1/4|*4*0*ln|C| $
folgen
was ja nicht sein Kann?
Kann mir jemand die Nummer 2 bestätigen und sagen, was bei der eins falsch läuft oder bin ich komplett auf dem Holzweg?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MFG Sören
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Fr 10.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie mit Hilfe der Seperationsmethode die Lösung
> der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung:
> [mm]y´=e^{-y+4x}[/mm] , [mm]y(0)=1[/mm] .
> [mm]y´=-2xy^2[/mm] , [mm]y(0)=-0,5[/mm]
> Bei der zweiten Aufgabe habe ich als Ergebnis
> [mm]y=-1/{-x^2+2}[/mm] raus was glaube ich stimmt
>
> nur bei der ersten Aufgabe komme ich nicht weiter
> ich habe
> [mm]y´=e^{-y+4x}[/mm]
> [mm]dy/dx=e^{-y+4x}[/mm]
> [mm]ln|dy|/ln|dx|=-y+4x[/mm]
Allgemein gilt [mm] $\ln(\frac{a}{b})\neq\frac{\ln a}{\ln b}$
[/mm]
Trenne die Variablen und integriere dann.
> [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]
> [mm]ln|dy|/y=4x dx[/mm]
> [mm]e^ydy=e^4xdx[/mm]
> Stimmt das? bin mir ziemlich Unsicher
So stimmts: [mm] $e^y\,\mathrm [/mm] d [mm] y=e^{4x}\,\mathrm [/mm] d x$
> Nach Intergration wäre es
> [mm]e^y=1/4e^{4x}+C[/mm]
> [mm]y=ln|1/4|*4x*ln|C|[/mm]
Was ist denn hier passiert? Aus [mm] $e^y=1/4e^{4x}+C$ [/mm] folgt:
[mm] $y(x)=\ln\left(\frac{e^{4x}}{4}+C\right)$
[/mm]
>
> Mit der anfangsbedingung
> [mm]y(0)=1[/mm]
> würde
> [mm]1=ln|1/4|*4*0*ln|C|[/mm]
> folgen
> was ja nicht sein Kann?
Nimm die richtige Funktion und versuchs nochmal.
>
> Kann mir jemand die Nummer 2 bestätigen und sagen, was bei
> der eins falsch läuft oder bin ich komplett auf dem
> Holzweg?
Die Lösung zur zweiten DGL ist falsch.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> MFG Sören
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
Ich verstehe nicht ganz
>
> Allgemein gilt [mm]\ln(\frac{a}{b})\neq\frac{\ln a}{\ln b}[/mm]
Ok aber
> > [mm]ln|dy|/y=4x dx[/mm]
Stimmt wieder?
>
> Trenne die Variablen und integriere dann.
>
Hab ich doch oder nicht?
> > [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]
> > [mm]ln|dy|/y=4x dx[/mm]
> > [mm]e^ydy=e^4xdx[/mm]
> > Stimmt das? bin mir ziemlich Unsicher
>
> So stimmts: [mm]e^y\,\mathrm d y=e^{4x}\,\mathrm d x[/mm]
>
Tippfehler...
> > Nach Intergration wäre es
> > [mm]e^y=1/4e^{4x}+C[/mm]
> > [mm]y=ln|1/4|*4x*ln|C|[/mm]
>
> Was ist denn hier passiert? Aus [mm]e^y=1/4e^{4x}+C[/mm] folgt:
> [mm]y(x)=\ln\left(\frac{e^{4x}}{4}+C\right)[/mm]
>
Ist das jetzt der einzige fehler? Oder muss ich oben neu anfangen?
> >
> > Mit der anfangsbedingung
> > [mm]y(0)=1[/mm]
> > würde
> > [mm]1=ln|1/4|*4*0*ln|C|[/mm]
> > folgen
> > was ja nicht sein Kann?
>
> Nimm die richtige Funktion und versuchs nochmal.
>
> >
> > Kann mir jemand die Nummer 2 bestätigen und sagen, was bei
> > der eins falsch läuft oder bin ich komplett auf dem
> > Holzweg?
>
> Die Lösung zur zweiten DGL ist falsch.
Verdammt dann schreib ich da gleich auch mal meine rechnung ab ok?
>
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > MFG Sören
>
> Gruß,
>
> notinX
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 10.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Ich verstehe nicht ganz
> >
> > Allgemein gilt [mm]\ln(\frac{a}{b})\neq\frac{\ln a}{\ln b}[/mm]
>
> Ok aber
> > > [mm]ln|dy|/y=4x dx[/mm]
> Stimmt wieder?
Ich bin mir nicht sicher, zeig mal noch ein paar Rechenschritte mehr, dann kann ichs Dir sagen.
> >
> > Trenne die Variablen und integriere dann.
> >
> Hab ich doch oder nicht?
Na ja, am Ende siehts schon so aus als hättest Du das getan, aber Deine Zwischenschritte kann ich nicht nachvollziehen...
> > > [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]
> > > [mm]ln|dy|/y=4x dx[/mm]
> > > [mm]e^ydy=e^4xdx[/mm]
> > > Stimmt das? bin mir ziemlich Unsicher
> >
> > So stimmts: [mm]e^y\,\mathrm d y=e^{4x}\,\mathrm d x[/mm]
> >
> Tippfehler...
>
> > > Nach Intergration wäre es
> > > [mm]e^y=1/4e^{4x}+C[/mm]
> > > [mm]y=ln|1/4|*4x*ln|C|[/mm]
> >
> > Was ist denn hier passiert? Aus [mm]e^y=1/4e^{4x}+C[/mm] folgt:
> > [mm]y(x)=\ln\left(\frac{e^{4x}}{4}+C\right)[/mm]
> >
> Ist das jetzt der einzige fehler? Oder muss ich oben neu
> anfangen?
Wie gesagt, ich kann Deine Rechnung nicht nachvollziehen. Aber bis auf das stimmt Dein Ergebnis.
> > >
> > > Mit der anfangsbedingung
> > > [mm]y(0)=1[/mm]
> > > würde
> > > [mm]1=ln|1/4|*4*0*ln|C|[/mm]
> > > folgen
> > > was ja nicht sein Kann?
> >
> > Nimm die richtige Funktion und versuchs nochmal.
> >
> > >
> > > Kann mir jemand die Nummer 2 bestätigen und sagen, was bei
> > > der eins falsch läuft oder bin ich komplett auf dem
> > > Holzweg?
> >
> > Die Lösung zur zweiten DGL ist falsch.
> Verdammt dann schreib ich da gleich auch mal meine
> rechnung ab ok?
Klar.
> >
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > >
> > > MFG Sören
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
> Danke
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
ok also
ich habe als erstes
das $y´$
durch $dy/dx$ ersetzt
damit habe ich [mm] $dy/dx=e^{-y+4x}$
[/mm]
also
$ln|(dy/dx)|=-y+4x$
wenn $ln|(dy/dx)| = ln|dy|-ln|dx|$ <- stimmt das?
hieße das $ ln|dy|-ln|dx|=-y+4x$
Separation:
$ln|dy|+y=ln|dx|+4x$
müsste ja
[mm] $e^y dy=e^{4x}$ [/mm] sein
Integration
[mm] $e^y=1/4*e^{4x}$
[/mm]
hoffe es ist verständlicher
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Hallo xsuernx,
> ok also
> ich habe als erstes
> das [mm]y´[/mm]
> durch [mm]dy/dx[/mm] ersetzt
> damit habe ich [mm]dy/dx=e^{-y+4x}[/mm]
> also
> [mm]ln|(dy/dx)|=-y+4x[/mm]
>
> wenn [mm]ln|(dy/dx)| = ln|dy|-ln|dx|[/mm] <- stimmt das?
>
Formal ist das richtig.
> hieße das [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]
>
> Separation:
> [mm]ln|dy|+y=ln|dx|+4x[/mm]
> müsste ja
> [mm]e^y dy=e^{4x}[/mm] sein
>
> Integration
> [mm]e^y=1/4*e^{4x}[/mm]
>
Hier fehlt auf der rechten Seite die Integrationskonstante.
[mm]e^y=1/4*e^{4x}}\red{+C}[/mm]
> hoffe es ist verständlicher
>
Verständlicher ja, aber etwas umständlich.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
> Hallo xsuernx,
>
> > ok also
> > ich habe als erstes
> > das [mm]y´[/mm]
> > durch [mm]dy/dx[/mm] ersetzt
> > damit habe ich [mm]dy/dx=e^{-y+4x}[/mm]
> > also
> > [mm]ln|(dy/dx)|=-y+4x[/mm]
> >
> > wenn [mm]ln|(dy/dx)| = ln|dy|-ln|dx|[/mm] <- stimmt das?
> >
>
>
> Formal ist das richtig.
>
>
> > hieße das [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]
> >
> > Separation:
> > [mm]ln|dy|+y=ln|dx|+4x[/mm]
> > müsste ja
> > [mm]e^y dy=e^{4x}[/mm] sein
> >
> > Integration
> > [mm]e^y=1/4*e^{4x}[/mm]
> >
>
>
> Hier fehlt auf der rechten Seite die
> Integrationskonstante.
>
> [mm]e^y=1/4*e^{4x}}\red{+C}[/mm]
>
>
> > hoffe es ist verständlicher
> >
>
>
> Verständlicher ja, aber etwas umständlich.
>
>
> Gruss
> MathePower
umständlich ist ja egal hauptsache richtig :/
ja mit dem C...
dann würde es ja heißen dass ich nur noch den logarithmieren muss und fertig bin?
also
[mm] $e^y=1/4*e^{4x}+C$
[/mm]
[mm] §y=ln|1/4*e^{4x}+C|$
[/mm]
da kann ich die randbedingung
$y(0)=1$
einsetzen und komme auf
[mm] $1=ln|1/4e^{4*0}+C|$
[/mm]
$1=ln|1/4*1+C|$
$1=ln|1/4+C|$
[mm] $e^1=1/4+C$
[/mm]
[mm] §C=e^1-1/4$
[/mm]
ist aber auch ein komisches ergebnis...
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Hallo xsuernx,
> > Hallo xsuernx,
> >
> > > ok also
> > > ich habe als erstes
> > > das [mm]y´[/mm]
> > > durch [mm]dy/dx[/mm] ersetzt
> > > damit habe ich [mm]dy/dx=e^{-y+4x}[/mm]
> > > also
> > > [mm]ln|(dy/dx)|=-y+4x[/mm]
> > >
> > > wenn [mm]ln|(dy/dx)| = ln|dy|-ln|dx|[/mm] <- stimmt das?
> > >
> >
> >
> > Formal ist das richtig.
> >
> >
> > > hieße das [mm]ln|dy|-ln|dx|=-y+4x[/mm]
> > >
> > > Separation:
> > > [mm]ln|dy|+y=ln|dx|+4x[/mm]
> > > müsste ja
> > > [mm]e^y dy=e^{4x}[/mm] sein
> > >
> > > Integration
> > > [mm]e^y=1/4*e^{4x}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Hier fehlt auf der rechten Seite die
> > Integrationskonstante.
> >
> > [mm]e^y=1/4*e^{4x}}\red{+C}[/mm]
> >
> >
> > > hoffe es ist verständlicher
> > >
> >
> >
> > Verständlicher ja, aber etwas umständlich.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> umständlich ist ja egal hauptsache richtig :/
> ja mit dem C...
>
> dann würde es ja heißen dass ich nur noch den
> logarithmieren muss und fertig bin?
>
> also
> [mm]e^y=1/4*e^{4x}+C[/mm]
>
> [mm]§y=ln|1/4*e^{4x}+C|$[/mm]
>
> da kann ich die randbedingung
> [mm]y(0)=1[/mm]
> einsetzen und komme auf
> [mm]1=ln|1/4e^{4*0}+C|[/mm]
> [mm]1=ln|1/4*1+C|[/mm]
> [mm]1=ln|1/4+C|[/mm]
> [mm]e^1=1/4+C[/mm]
> [mm]§C=e^1-1/4$[/mm]
>
> ist aber auch ein komisches ergebnis...
Ist aber richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
cool danke
dann bleibt ja nur noch aufgabe 2
ich habe
[mm] $y´=-2xy^2$
[/mm]
[mm] $dy/dx=-2xy^2$
[/mm]
Seperation
[mm] $1/y^2 [/mm] dy=-2xdx$
Integration:
$ [mm] -1/y=-x^2+C$
[/mm]
[mm] $y=-1/(-x^2+C)$
[/mm]
also
[mm] $y=1/(x^2+C)$
[/mm]
mit Anfangsbedingung
[mm] $-1/2=1/(0^2+C)$
[/mm]
soweit richtig?
p.s. wie macht man einen vernünftigen Bruchstrich?
p.p.s. gibt es eigentlich eine methode sein ergebnis zu überprüfen?
MFG Sören
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Hallo xsuernx,
> cool danke
>
> dann bleibt ja nur noch aufgabe 2
> ich habe
>
> [mm]y´=-2xy^2[/mm]
>
> [mm]dy/dx=-2xy^2[/mm]
>
> Seperation
>
> [mm]1/y^2 dy=-2xdx[/mm]
>
> Integration:
>
> [mm]-1/y=-x^2+C[/mm]
>
> [mm]y=-1/(-x^2+C)[/mm]
>
> also
>
> [mm]y=1/(x^2+C)[/mm]
>
Eigentlich muss es hier lauten:
[mm]y=\bruch{1}{x^{2}-C}[/mm]
> mit Anfangsbedingung
> [mm]-1/2=1/(0^2+C)[/mm]
> soweit richtig?
>
> p.s. wie macht man einen vernünftigen Bruchstrich?
Obige Formel sieht im Formeleditor so aus: y=\bruch{1}{x^{2}-C}
> p.p.s. gibt es eigentlich eine methode sein ergebnis zu
> überprüfen?
Setze das Ergebnis in die DGL ein.
>
> MFG Sören
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
>
> Eigentlich muss es hier lauten:
>
> [mm]y=\bruch{1}{x^{2}-C}[/mm]
>
>
also
[mm] $-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{0^{2}-C}$
[/mm]
daraus folgt doch C=2 oder nicht
>
> > p.p.s. gibt es eigentlich eine methode sein ergebnis zu
> > überprüfen?
>
>
> Setze das Ergebnis in die DGL ein.
>
>
dann passt C=2 aber nicht mehr:(
> > MFG Sören
>
>
> Gruss
> MathePower
>
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Hallo xsuernx,
> >
> > Eigentlich muss es hier lauten:
> >
> > [mm]y=\bruch{1}{x^{2}-C}[/mm]
> >
> >
> also
> [mm]-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{0^{2}-C}[/mm]
> daraus folgt doch C=2 oder nicht
>
> >
> > > p.p.s. gibt es eigentlich eine methode sein ergebnis zu
> > > überprüfen?
> >
> >
> > Setze das Ergebnis in die DGL ein.
> >
> >
> dann passt C=2 aber nicht mehr:(
>
In die DGL kannst Du doch beliebige Lösungen
[mm]y=\bruch{1}{x^{2}-C}[/mm]
einsetzen.
Und das ist unabhängig von der Konstanten C.
> > > MFG Sören
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> >
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
Aber ich habe doch eine Anfangsbedingung gegeben...
ich sehe glaube ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr...
nochmal ganz allgemein bzw von anfang an
[mm] $y´=-2xy^2$
[/mm]
ist mit seperationsmethode und anfangsbedingung [mm] $y(0)=-\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $y=\bruch{-1}{-x^2+2}$
[/mm]
?
Mfg Sören
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Hallo xsuernx,
> Aber ich habe doch eine Anfangsbedingung gegeben...
>
> ich sehe glaube ich den Wald vor lauter Bäumen nicht
> mehr...
>
> nochmal ganz allgemein bzw von anfang an
>
> [mm]y´=-2xy^2[/mm]
> ist mit seperationsmethode und anfangsbedingung
> [mm]y(0)=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{-1}{-x^2+2}[/mm]
> ?
Ja.
> Mfg Sören
Gruss
MathePower
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