Trennung der Veränderlichen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mi 22.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | Meine Kondition wird beschrieben durch: [mm] a=\frac{\beta}{v+v_0}
[/mm]
a=Beschleunigung
v=Geschwindikeit
Ich starte bei dem Punkt t=0 aus der Ruhe. Berechne v(t), indem die Differentialgleichung durch Trennung der Veränderlichen gelöst wird. |
Hallo zusammen, es ist die gefühlte 100 Aufgabe die ich in den letzten paar tagen hochgeladen habe aber was solls... Rom wurde auch nicht an einem Tag erbaut.
Mein Ansatz:
1: Prüfen ob die DGL separabel ist, d.h: y'=f(x)*g(x).
In der Tat, unsere DGL ist separabel (was für eine Überraschung):
[mm] v'=\frac{\beta}{v+v_0}
[/mm]
2: Trennung der Variablen (Hier ist auch meine erste Schwierigkeit, weswegen die Folgenen Punkte noch nicht ausgearbeitet sind):
3: Ein unbestimmtes Integral auf beiden Seiten aufstellen
4: Auflösung der impliziten Gleichung
Falls mir jemand bei Punkt 2 helfen kann versuche ich die restlichen Punkte alleine und melde mich wieder wenn es doch nicht klappen wird.
Danke euch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Mi 22.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Zu 2.:
$ [mm] v'=\frac{\beta}{v+v_0} [/mm] $ -----> $ [mm] \bruch{dv}{dt}=\frac{\beta}{v+v_0} [/mm] $ ----> [mm] (v+v_0)dv=\beta [/mm] dt ----> [mm] \integral_{}^{}(v+v_0)dv= \integral_{}^{}\beta [/mm] dt +C
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 22.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Danke für die tolle Antwort!
Ich habe es nachvollziehen können und versucht das unbestimmte Integral zu lösen:
$ [mm] \integral_{}^{}(v+v_0)dv= \integral_{}^{}\beta\cdot [/mm] dt+C $
meine Lösung lautet:
[mm] \frac{v_0}{2}+v\cdot v_0=c+\beta\cdot [/mm] t
stimmt diese Gleichung? Jetzt würde ich es noch nach t auflösen. Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mi 22.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die tolle Antwort!
>
> Ich habe es nachvollziehen können und versucht das
> unbestimmte Integral zu lösen:
>
> [mm]\integral_{}^{}(v+v_0)dv= \integral_{}^{}\beta\cdot dt+C[/mm]
>
> meine Lösung lautet:
>
> [mm]\frac{v_0}{2}+v\cdot v_0=c+\beta\cdot[/mm] t
>
> stimmt diese Gleichung?
Nein. Richtig ist: [mm] $\frac{1}{2}v^2+v_0v=c+\beta [/mm] t$
Löse diese Gl. nach v auf.
FRED
> Jetzt würde ich es noch nach t
> auflösen. Ist das korrekt?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 22.04.2015 | | Autor: | Skyrula |
Ich bekomme es einfach nicht auf die Kette $ [mm] \frac{1}{2}v^2+v_0v=c+\beta [/mm] t $
nach v aufzulösen.
Wie gehe ich mit [mm] v_0 [/mm] um und könnte mir vielleicht jemand helfen?
Mein Problem ist es, das ich v nicht auf eine Seite bekomme und ich mir nicht sicher bin wie ich mit [mm] v_0 [/mm] umzugehen habe. Hier mein Ansatz, aber er ist sicher nicht richtig:
$ [mm] \frac{1}{2}v^2+v_0v=c+\beta [/mm] t $
[mm] \gdw \frac{1}{2}v^2=c+\beta t-v_{0}v
[/mm]
[mm] \gdw v^2=2(c+\beta t-v_{0}v)
[/mm]
[mm] \gdw v=\sqrt{2(c+\beta t-v_{0}v)}
[/mm]
Hier der nächste Versuch. Er sieht schon besser aus. Ich bitte um Feedback:
$ [mm] \frac{1}{2}v^2+v_0v=c+\beta [/mm] t $
Jetzt die gegebene Anfangsbedingung benutzen die oben in der Aufgabe steht:
Ich starte bei dem Punkt t=0 aus der Ruhe. Berechne v(t), indem die Differentialgleichung durch Trennung der Veränderlichen gelöst wird.
das heißt doch, dass zu dem Zeitpunkt t=0 auch die Geschwindigkeit v(t)=0 war, weil ich aus der Ruhe gestartet bin. Also setzte ich ein und übrig bleibt:
[mm] \frac{v^2}{2}=C
[/mm]
[mm] \gdw v^2=2C
[/mm]
[mm] \gdw v=\sqrt{2C}
[/mm]
danke.
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mi 22.04.2015 | | Autor: | chrisno |
$ [mm] \frac{1}{2}v^2+v_0v=c+\beta [/mm] t $
$ [mm] v^2+v \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot v_0 [/mm] - [mm] 2(c+\beta [/mm] t)= 0 $
[mm] $x^2 [/mm] + [mm] p\cdot [/mm] x + q = 0$
x = ?
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