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| Aufgabe | | Zeigen Sie mit TdV, dass die Funktion [mm] \dot \phi=\wurzel{\bruch{2g}{r}*sin(\phi)} [/mm] zur Ableitung [mm] \phi^{**}=\bruch{g}{r}*cos(\phi) [/mm] gehört. |
Hallo,
(Frohe Ostern  )
wir haben Anfang der Woche in der Vorlesung eine Aufgabe gerechnet und beim Nachbereiten sind mir zwei Fragen in den Sinn gekommen. Ich schreibe erst einmal die Rechnung auf, die Aufgabe steht oben:
es gilt: [mm] \phi^{**}=\bruch{d\dot \phi}{dt}=\bruch{d\dot \phi*d\phi}{d\phi*dt}=\bruch{d\dot \phi}{d\phi}*\dot \phi
[/mm]
[mm] \phi^{**} [/mm] eingesetzt:
(1.) [mm] \bruch{d\dot \phi}{d\phi}*\dot \phi=\bruch{g}{r}*cos(\phi)
[/mm]
(2.) [mm] \integral \bruch{d\dot \phi}{d\phi}*\dot \phi *d\phi=\bruch{g}{r}\integral cos(\phi) d\phi
[/mm]
(3.) [mm] \integral \dot \phi d\dot \phi [/mm] = [mm] \bruch{g}{r}\integral cos(\phi) d\phi
[/mm]
(4.) [mm] \bruch{(\dot \phi)^{2}}{2}+c_{1}=\bruch{g}{r}*sin(\phi)+c_{2}
[/mm]
(5.) [mm] (\dot \phi)^{2}=\bruch{2g}{r}*sin(\phi)+c_{3}
[/mm]
(6.) [mm] \dot \phi=\wurzel{\bruch{2g}{r}*sin(\phi)}+c_{4}
[/mm]
Meine erste Frage: Wo findet hier eigentlich die Variablentrennung statt? Welche Variablen werden hier getrennt? Normalerweise müsste ich doch [mm] \phi [/mm] und t trennen, es taucht aber kein t auf und beim Integrieren steht auch noch [mm] cos(\phi) [/mm] auf der rechten Seite!?
Zweite Frage: Zeile (3.); Spielt da der Ableitungspunkt keine Rolle? [mm] \dot \phi [/mm] wird behandelt wie eine normale Variable, also
[mm] \integral \dot\phi d\dot\phi [/mm] wird behandelt wie [mm] \integral [/mm] x dx
Geht das so?
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Zeigen Sie mit TdV, dass die Funktion [mm]\dot \phi=\wurzel{\bruch{2g}{r}*sin(\phi)}[/mm]
> zur Ableitung [mm]\phi^{**}=\bruch{g}{r}*cos(\phi)[/mm] gehört.
> Hallo,
>
> (Frohe Ostern )
>
Danke, gleichfalls.
> wir haben Anfang der Woche in der Vorlesung eine Aufgabe
> gerechnet und beim Nachbereiten sind mir zwei Fragen in den
> Sinn gekommen. Ich schreibe erst einmal die Rechnung auf,
> die Aufgabe steht oben:
>
> es gilt: [mm]\phi^{**}=\bruch{d\dot \phi}{dt}=\bruch{d\dot \phi*d\phi}{d\phi*dt}=\bruch{d\dot \phi}{d\phi}*\dot \phi[/mm]
>
> [mm]\phi^{**}[/mm] eingesetzt:
>
> (1.) [mm]\bruch{d\dot \phi}{d\phi}*\dot \phi=\bruch{g}{r}*cos(\phi)[/mm]
>
> (2.) [mm]\integral \bruch{d\dot \phi}{d\phi}*\dot \phi *d\phi=\bruch{g}{r}\integral cos(\phi) d\phi[/mm]
>
> (3.) [mm]\integral \dot \phi d\dot \phi[/mm] = [mm]\bruch{g}{r}\integral cos(\phi) d\phi[/mm]
>
> (4.) [mm]\bruch{(\dot \phi)^{2}}{2}+c_{1}=\bruch{g}{r}*sin(\phi)+c_{2}[/mm]
>
> (5.) [mm](\dot \phi)^{2}=\bruch{2g}{r}*sin(\phi)+c_{3}[/mm]
>
> (6.) [mm]\dot \phi=\wurzel{\bruch{2g}{r}*sin(\phi)}+c_{4}[/mm]
>
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> Meine erste Frage: Wo findet hier eigentlich die
> Variablentrennung statt? Welche Variablen werden hier
> getrennt? Normalerweise müsste ich doch [mm]\phi[/mm] und t
> trennen, es taucht aber kein t auf und beim Integrieren
> steht auch noch [mm]cos(\phi)[/mm] auf der rechten Seite!?
>
Nun ja, eine Variablentrennung fand im üblichen Sinne nicht statt,
sondern es wurde die Gleichung (1) wurde mit [mm]d\phi[/mm] durchmultipliziert,
so daß dann da steht:
[mm]\bruch{d\dot \phi}{d\phi}*\dot \phi \ \blue{d\phi}=\bruch{g}{r}*cos(\phi) \ \blue{d\phi}[/mm]
Zusammenfassen liefert:
[mm]\dot{\phi} \ d\dot{\phi}=\bruch{g}{r}*cos(\phi) \ \blue{d\phi}[/mm]
Hier sind [mm]\phi[/mm] und [mm]\dot\phi[/mm] die Variablen,
die zu trennen sind.
> Zweite Frage: Zeile (3.); Spielt da der Ableitungspunkt
> keine Rolle? [mm]\dot \phi[/mm] wird behandelt wie eine normale
> Variable, also
>
> [mm]\integral \dot\phi d\dot\phi[/mm] wird behandelt wie [mm]\integral[/mm] x
> dx
>
> Geht das so?
>
Ja, das geht so.
>
> Gruß, Andreas
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 So 31.03.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke!
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